专题2-2 费马点与加权费马点详细总结-备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

专题2-2 费马点与加权费马点详细总结 知识点梳理 【常规费马点】 【加权费马点】 题型一 普通费马点最值问题 题型二 加权费马点·单系数型 题型三 加权费马点·多系数型 知识点梳理 【常规费马点】 【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC， 当的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数. 【问题处理】如图1，将△ACP绕着点C顺时针旋转60度得到△A’CP’，则△ACP≌△A’CP’，CP＝CP’，AP＝A’P’，又∵∠PCP’ ＝60°，∴△PCP’是等边三角形，∴PP’＝PC， ∴PA＋PB＋PC＝ P’A’＋PB＋PP’， 如图2，当且仅当点B、P、P’、A’共线时，PA＋PB＋PC最小，最小值为A’B，此时∠BPC＝∠APC＝∠APB＝120° 【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论： 1 对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心； 2 对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． 【如何作费马点】如图3，连接AA’，我们发现△ACA’为等边三角形，点P在A’B上，同理，我们可以得到等边△BAB’，点P也在CB’上，因此，我们可以以△ABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交点即为费马点。（最大角小于120°时） 【例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值． 【练习1】 如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______． 【加权费马点】 如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。 【类型一 单系数类】 当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段， 一种是旋转特殊角度：对应旋转90°，对应旋转120° 另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比 【例3】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求的最小值 【练习2】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，P为三角形ABC内部一点，求的最小值 【类型二 多系数类】 其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。 以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？我们总结了以下方法： 1. 将最小系数提到括号外； 2. 中间大小的系数确定放缩比例； 3. 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所在的三角形。 【例3】 如图，在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点P，连接，则（1）的最小值为________；（2）的最小值为________ 【练习3】如图，在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点P，连接，则的最小值为________． 题型一 普通费马点最值问题 1． （2021滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P是△ABC内一点，则的最小值为_________． C A B P 2． 问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA＋PC＝PE． 问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______． 3． 如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝2，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值． 4． 已知，在△ABC中，∠ACB＝30° ，AC＝4，AB＝点P是△ABC内一动点，则PA＋PB＋PC的最小值为________ 5． 如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______． 6． A、B、C、D四个城市恰好为一个边长为2a正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度（AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ）最小，则应当如何修建？最小长度是多少？ 2023·随州中考真题 7． 1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里