专题2-1 将军饮马等8类常见最值问题-备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

专题2-1 将军饮马等8类常见最值问题 题型一 两定一动型（线段和差最值问题） 题型二 双动点最值问题（两次对称） 题型三 动线段问题：造桥选址（构造平行四边形） 题型四 垂线段最短 题型五 相对运动平移型将军饮马 题型六 通过瓜豆得出轨迹后将军饮马 题型七 化斜为直，斜大于直 题型八 构造二次函数模型求最值 一、单动点问题 【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小 问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB 【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小 问题解决：作B关于l的对称点B'⇒PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB' 【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大 问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大 原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB' 【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大 问题解决：作B关于直线l的对称点B'⇒PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'| 原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB' 二、双动点问题（作两次对称） 【问题5】在直线，上分别求点M，N，使△PMN周长最小 问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N， 原理：两点之间线段最短，P'，P''，与两直线交点即为M，N，则AM＋MN＋PN的最小值为线段P'P''的长 【问题6】P，Q为定点，在直线，上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小 问题解决：分别作点P，Q关于直线，的对称点P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N 原理：两点之间线段最短，连接P'Q'，与两直线交点即为M，N，则PM＋MN＋QN的最小值为线段P'Q'的长，周长最小值为P'Q'＋PQ 【问题7】A，B分别为，上的定点，M，N分别为，上的动点，求最小值 问题解决：分别作，关于，的对称点，，则，，即所求 原理：两点之间距离最短，A'，N，M，B'共线时取最小，则AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B' 三、动线段问题（造桥选址） 【问题8】直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值 问题解决：将点B向上平移MN的长度单位得B'，连接B'M，当AB'M共线时有最小值 原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN 【问题9】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求的最小值 问题解决：将B点向左移动a个单位长度，再作B'关于直线l的对称点B''，当共线有最小值 原理：通过平移构造平行四边， 四、垂线段最短 【问题10】在直线，上分别求点A，B，使PB＋AB最小 问题解决：作关于的对称点，作于A，交于B，即所求 原理：点到直线，垂线段最短， 五、相对运动，平移型将军饮马 【问题11】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值 问题解决：相对运动或构造平行四边形 策略一：相对运动思想 过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题 策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9. 六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹 【问题12】如图，点P在直线BC上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°，得到点Q，求Q点轨迹？ 问题解决：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段． 原理：由手拉手可知，故,故Q点轨迹为直线 七、化斜为直，斜大于直 【问题13】已知：是斜边上的高 （1）求的最大值；（2）若，求的最大值 问题解决：取BC中点M，（1）则；（2） 八、构造二次函数求最值 这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需要配方． 【问题14】正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为 . 问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到，进而根据相似比得到，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案 【详解】易知，， ，，∴，， ∴， ，在时有最大值