专题08 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题08 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1.阿基米德折弦模型 【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。 图1 图2 图3 图4 常见证明的方法： 1）补短法：如图2，如图，延长DB至F，使BF=BA； 2）截长法：如图3，在CD上截取DG=DB； 3）垂线法：如图4，作MH⊥射线AB，垂足为H。 1．（2023·山西·九年级专题练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC． 如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝ °． 例2．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知BC为⊙O的直径，AB为一条弦(BCAB)，点M是上的点，MD⊥BC于点D，延长MD交弦AB于点E，连接BM，若BM=，AB=4，则AE的长为(    ) A． B． C． D． 例3．（2023·山东济宁·校考二模）阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．在1964年出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 【定理模型】如图①，已知AB和BC是的两条弦（即折线ABC是的一条折弦），，M是的中点，那么从M向弦BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． 下面是运用“补短法”证明的部分证明过程： 如图②，延长DB至点F，使，连接MF，AB，MC，MA，AC，… 【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程． 【问题解决】如图③，内接于，已知，D为上一点，连接AD，DC，，，求的周长． 例4．（2022上·江苏盐城·九年级统考期中）【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． 【理解应用】 （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则______； 【定理证明】（2）阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】（3）如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】（4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则______________． 例5．（2023·江苏·九年级期中）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． (1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，C是劣弧的中点，直线于点E，则．请证明此结论； (2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．C是劣弧的中点，直线于点E，则．可以通过延长、相交于点F，再连接证明结论成立．请写出证明过程； (3)如图3，，组成的一条折弦．C是优弧的中点，直线于点E，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．    模型2.婆罗摩笈多（定理）模型 【模型解读】婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家。 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点。 图1 图2 图3 如图1，ABCD为圆内接四边形，对角线AC和BD垂直相交，交点为E，过点E