专题23 解直角三角形模型之新定义模型-2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题23 解直角三角形模型之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 【知识储备】 模型1、新定义模型 此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 图1 图2 2）余弦定理：如图2， ． 3）正弦面积公式：如图2，. 4）同角三角函数的基本关系式:，。 5）和（差）、二倍角角公式： ; . ; . . 例1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB； 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 例2．（2022·湖南湘西·统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍． 用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA；b2＝a2＋c2﹣2accosB；c2＝a2＋b2﹣2abcosC 现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝_____． 例3．（2022·山东青岛·校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究． 探究一：如图1，在中，，，，，求的面积． 在中，， ．． 探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含、、代数式表示），写出探究过程． 探究三：如图3，中，，，，求的面积（用、、表示）写出探究过程． 问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）． 问题应用：如图4，已知平行四边形中，，，，求平行四边形的面积（用、、表示）写出解题过程． 问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用、、、、、表示），其中，，，，，． 例4．（2023春·四川泸州·八年级校考期中）平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：设一个三角形的三边长分别为a、b、c，，则有下列面积公式： （海伦公式）； （秦九韶公式）． (1)一个三角形边长依次是5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积； (2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，，，，求的面积和边上得高的长．    例5．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例6．（2023年四川省广元市中考真题数学试题）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电