3.2.1函数的单调性与最值教案-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

课题 3.2.1函数的单调性与最值 编号 必修 第一册 第三章 第二节 共3课时 施教 教师 施教日期 第 周 星期 . 施教班级 课型 新授课 主备 教师 教学目标 基础知识 使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法；理解函数最值的概念． 基本技能 会通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 基本思想 转化与化归思想、数形结合思想 基本经验 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 核心素养 ●直观想象、●数学运算、●数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、○数学建模 教学重点 函数单调性的概念、判断及证明. 教学难点 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 教学方法 问题引导教学法，启发式教学，小组合作探究学习． 教学手段 多媒体辅助教学 教学过程 教学环节 教学内容 设计意图 二次备课 创设情境 【实例】下图是漳县最近一个月内某天24小时气温随时间的变化曲线，请你根据曲线图说说气温的变化情况？ 函数是描述事物变化规律的数学模型，如果清楚了函数的变化规律，那么就基本把握了相应实物的变化规律，在事物变化过程中，保存不变的特征就是这个事物的性质，因此，研究函数的变化规律是非常有意义的。 【归纳】用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 从学生的亲身体验，直观形象感知体温变化，自然引入函数的单调性与最值。 自主探究 1、借助图像，直观感知 问题1：观察下列函数图像，请你说出这些图像有什么变化趋势？ 例1 下图是函数图象，列出的若干区间，说明它在各区间上的增减性，并指出该函数的最大、最小值点。 y 问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 学生回答时可能会漏掉“在某区间上”，规范表达“函数在哪个区间上具有怎样的单调性”。借此强调函数的单调性是相对某区间而言的，是函数的局部性质。 从图象直观感知到文字描述，完成对函数单调性的第一次认知。明确相关概念，准确表达单调性。学生认为单调性的知识似乎够用了，为下面的认知冲突做好铺垫。 从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 合作交流 2．探究规律，理性认识 问题3： (1) 右图是函数的图象，（以为例），它在定义域上递增吗？ (2)函数在区间上有何单调性？ 问题4：如何从解析式的角度说明在为增函数？ 1、学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．函数图象虽然直观，但是缺乏精确性，必须结合函数解析式；但仅凭解析式常常也难以判断其单调性。借此认知冲突，让学生意识到学习符号化定义的必要性,自然开始探索。把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫. 精讲释疑 3．抽象思维，形成概念 问题5：如何从解析式的角度说明在为增函数？如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“随的增大而增大”？ .以二次函数在上的单调性为例。我们知道函数值和自变量增大而增大，举出一些具体的数值来说明。 一般化：如果的图像是上升的，当，则一定有成立。 问题6：对于，若，有成立，是否可以说明的图像是上升的呢？ 问题7：如何用数学语言准确刻画函数在区间上递增呢？ 问题8：请你试着用数学语言定义函数在区间上是递减的。 2、追问：无数个x也不能保证函数递增，那该怎么办呢？再次体验对“任意一个”进行操作，实现“无限”目标的数学方法，体会用“任意”来处理“无限”的数学思想。 3、让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识. 典例剖析 例2：求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数： 例3 证明定义在上的函数是增函数． 1．分析解决问题：针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流． 2．归纳解题步骤：引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论． 1、通过本例让学生明白图像法的应用，熟悉单调区间的规范书写。 2、帮助学生掌握用定义法证明单调性的书写规范和操作流程，体会书写符号语言的规范性和严谨性，并通过变式体会这一步骤。 巩固练习 1.判断并证明函数的单调性。 2.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　) A．y＝|x|＋2