2023年第39届全国中学生冬令营（CMO)试题（含解析）

2023年冬令营(CM0)试题完整版 1.求最小的实数入，使得对任意的正整数n,可以将其表示成2023个正整数之积，即n=1x2…x2023, 且满足对任意的∈1,2，…，2023)，均有x:是素数或者x≤n入. 2.求最大的实数c,使得对任意的正整数n和n个实数x1,工2，·，cm,均有 ∑∑m-i-0x西≥c∑乐 =1=1 =1 3.给定素数p≥5，定义集合2={1,2，·，p}.对于x,y∈2，定义R(x,)如下：当y≥x时 R(x,)=-x;当y<x时(x,)=-x+p.对于2的一个子集A,定义∫(A)=∑∑(R(x,)2 rEAUEA 若集合A满足0<A<p且对任意1B=4有f(B)≥f(A)则称集合A为好集合.求最大正整数 1,使得可以找到1个互不相同的好集合A1,A2,·,A,满足A1二A2≤+CA 4,对任意满足a1+a2+·+a2023=100的非负实数组(a1,a2,,a2023),记N为{（亿）i≤j,aa≥1} 的元素个数，求证：N≤5050，并给出取等的充要条件。 5.在锐角△ABC中，K为BC延长线上一点，过K分别作AB,AC平行线KP,KQ,若BK=BP, CK=CQ,且△KPQ的外接圆与AK交于点T,证明 (1)∠BTC+∠APB=∠CQA: (2)AP·BT.CQ=AQ·CT.BP 6.给定一个正99边形，将1,2，··，99放入99边形的99个顶点处，若两种放置方法在旋转之后可以 重合，则称这两种方法是同一个，称交换某两个相邻顶点上的数为一次操作，求最小的刀使得至多 次操作可以将一种放置方法变为任意另外一种放置方法， 2023年冬令营(CM0)试题解析 1.求最小的实数入，使得对任意的正整数n,可以将其表示成2023个正整数之积，即n=x12·…工2023， 且满足对任意的i∈{1,2，·，2023}，均有x:是索数或者x≤n入， 解： 入的最小值为2 一方面，取n=2024(其中p为素数)，此时若将n表示成2023个正整数之积，即n=x12…x2023 时，可设m=(为非负整数，言=1,2，·，2023)，由抽屉原理，存在正整数j,使得a,≥2， 此时p2024A=n入≥E,=pP≥p2,因此我们有入≥，1 1012 另一方面，我们证明，当入=2时，对任意的正整数n,存在正整数，…3，使得 4是素数或者x,≤no,且n=x1x2…x2023 对任意的正整数n,我们采用如下方法依次构造出满足要求的x1,x2,·,x202四 对1≤k≤2023，假设已构造出x1,2,·,x-1,接下来考虑k的取值（特别地，k=1时代表 尚未构造出任何一项，考虑构造1的值)· 对mk= (k=1时m1=n): E1工2·…Ck-1 若mk的最大素因子p%≥n,则令xk=pk; 若的任一素因子均小于n壶，则令xk为mk的不超过n而的最大正约数 依次得到x1,x2,·,2023 我们证明这样的构造符合要求： 由于此时对任意的i=1,2,·,2023,已有x是素数或者x1≤n,因此只须证n= x12·T2023 若存在=1，则知m不存在不小于n西的素因子，也不存在不超过n西的正约数，自然也 就不存在不超过n的素因子，所以m=1,这样，n=12…x1-1,x=x+1=…=2023=1, 满足n=工1r2+T2023 若不存在=1，不妨设1，x2,·,4为在上述操作中选取的不小于n的索数，其余项为在 上述操作中选取的不超过n的正约数(t可以为0)， 此时如果x2022x2023≤n应，则与x222为m2022的不超过n壶的最大正约数矛盾，所以 x2022x2023≥n血，这样有G202≥n动，进而有4+1≥1+2≥…≥x202≥n；而由取 法可直接得到1≥≥…≥1≥n血≥n动，因此我们有12…202≥n器，此时 m2023≤n赢i=n血，所以m2023=12…r2022 ，满足n=12…T2023. 综上所述，入的最小值为立 【简评】此题是一道形式优美且并不困难的数论问题，最终结果与整体思路容易得出，但在细 节处理上需要注意对不同情况的分类讨论，避免出现遗漏。 1 2023年中国数学臭林匹克(C1O)试题解析 2.求最大的实数c使得对任意的正整数n和n个实数1，x2,·,,均有 三m--名子 解： c的最大可能值为号 恒等变形如下： 2-加西空 11 一n∑2-∑∑-≥e∑ =司 i=l 一m∑P-2∑G-≥∑好 11. 1≤t<≤n 令S=x1+x2+…+x4,T=xn十xn-1+++Em+1-4: 则S=Tn(记为S),S:+Tn-t=S,进而结合阿贝尔变换知 2 理36-加西=工写红-空 故Hs=n-s宫s+宫)+宫+宫=9+宫好+宫 又5+号1≥（S+1-SP=+1,同理+7≥品，进而 ms++保+品+三四+）