2024年九年级中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线的一点，交的延长线于E，于F，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 2．如图中，，平分交于点．以点为圆心，为半径作交于点    (1)求证：与相切： (2)若，，试求的长． 3．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点．是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，，求的长． 4．如图所示，是的直径，弦，是的中点，过作于点，交于点，过作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：点在的中垂线上． 5．如图，是的直径，，． (1)求证：是的切线； (2)与相切与点C，交与点D，连接，若，求的长． 6．如图中，，以的中点O为圆心作切于点D；    (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径 7．如图，为的直径，平分，于，交于．    (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 8．已知四边形是平行四边形，且以为直径的经过点D．    (1)如图（1），若，求证：与相切； (2)如图（2），若，，交边于点F，交边延长线于点E，求的长； 9．如图， 为 的直径，C、E 为上的点，过C 点作 于D 点，且平分．    (1)求证： 为 的切线； (2)若，半径，求的长． 10．如图，是的直径，，是弦，过点O作交于点D，过点A作的切线与的延长线交于点P，连接． (1)求证：是的切线： (2)如果，求的长． 11．如图，是的直径，是弦，，延长到D，使．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 12．如图，，，点，分别在，上，且，交于点，点在上，经过点，．    (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 13．如图，是的外接圆，是的直径，．      (1)求证：是的切线； (2)若，垂足为交于点；求证：是等腰三角形． 14．如图，是的直径，为的切线，弦，垂足为，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，连接，求证：． 15．如图，已知等腰，，以点O为圆心作交边，于C，D两点，点C恰好为的中点，延长交于点E，连．    (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． 16．如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆交于，延长交于，连接，，若是的切线，    (1)求证：是的切线； (2)若，，求平行四边形的面积． 17．如图，是的直径，平分，交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．    (1)求证：是的切线； (2)过点O作，交于点H，连接，若，，求的半径长． 18．如图，是的直径，于点，连接交于点，弦．    (1)求证：垂直平分； (2)求证：是的切线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证是的切线，只要连接，再证即可； （2）由切线的性质及勾股定理可得的长，再根据三角形面积公式及勾股定理可得的长，最后由全等三角形的判定与性质可得答案． 【详解】（1）证明：连接； ∵，又， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． 又是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）过作于，利用角平分线的性质定理可得即可证明：与相切； （2）在中，由勾股定理可求出的长，设圆的半径为，利用切线长定理可求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出，进而求出的长． 【详解】（1）证明：过作于，    ， ， 平分交于点， ， 与相切； （2）解：设圆的半径为， ，，， ， ，是圆的切线， ， ， ， ， 在中，， 解得：， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理列方程． 3．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，．由，，可得，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明为的切线； （2）设，则，在中，，可得，再根据勾股定理可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ， ， ， ， ， ， 是直径，是的中点， ， ， ，即， 是半径， 是的切线． （2）设，则， 在中， ， 解得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． 4．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，由是的中点，根据垂径定理得，而，所以，然后根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接、，根据圆周角定理得，