3.2 函数与方程、不等式之间的关系 课本一例题课后一习题-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.2《函数与方程、不等式之间的关系》 习题3-2A组B组C组 一、单选题 1．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．求下列函数的零点： （1）； （2）. 3．利用函数求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）. 4．判断下列命题的真假： （1）若函数的图像是连续不断的，且在区间上有，则函数在区间中至少有一个零点； （2）若函数的图像是连续不断的，且在区间上有，则函数在区间中一定没有零点. 5．判断一次函数是否一定存在零点，并说明理由. 6．当是什么实数时，函数没有零点？ 7．写出一个同时满足下列两个条件的函数： （1）； （2）无零点. 8．已知函数是偶函数，其图像与轴有四个交点，试求方程的所有实根的和. 9．求下列函数的零点： （1）； （2）； （3）. 10．已知，且对任意实数均成立，求实数取值的集合. 11．若函数有三个零点，且，求实数的取值范围. 12．判断命题“已知函数的图像是连续不断的，且函数的两个相邻的零点是，若，则”的真假. 13．证明函数有零点，并指出用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行多少次函数值的计算. 14．求下列函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集： （1）； （2）. 15．作出二次函数的图像的示意图，并得出各种情况下不等式和的解集. 16．求证：方程在上至少有两个实根. 17．已知关于x的方程有两个不相等的正实数根，求实数m的取值组成的集合． 18．已知函数有一个零点在区间内，求实数的取值范围. 试卷第2页，共9页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2《函数与方程、不等式之间的关系》 习题3-2A组B组C组 一、单选题 1．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据零点存在定理说明． 【详解】解：因为， 所以， 故选：C. 【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题． 二、解答题 2．求下列函数的零点： （1）； （2）. 【答案】（1）  （2） 【解析】（1）解方程 （2）解方程 【详解】（1）由得，零点为； （2），或．∴零点为． 【点睛】本题考查求函数零点，解方程即得． 3．利用函数求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】用因式分解法得相应方程的根，然后得不等式的解集． 【详解】（1）原不等式化为，或，解集为； （2）原不等式化为，解集为； （3）原不等式化为，恒成立，解集为． 【点睛】本题考查解一元二次不等式，掌握一元二次不等式的解集与二次函数图象、一元二次方程的根之间的关系是解题基础． 4．判断下列命题的真假： （1）若函数的图像是连续不断的，且在区间上有，则函数在区间中至少有一个零点； （2）若函数的图像是连续不断的，且在区间上有，则函数在区间中一定没有零点. 【答案】（1）真命题；（2）假命题 【分析】（1）根据零点存在定理作答； （2）作一个图象说明． 【详解】解：（1）根据零点存在定理，它是真命题； （2）假命题，如图，，但函数在中有零点.    【点睛】本题考查零点存在定理，但要注意零点存在定理这个命题的逆命题、否命题不一定正确． 5．判断一次函数是否一定存在零点，并说明理由. 【答案】一定有零点，理由见解析 【解析】判断方程一定有解即可． 【详解】解：令，得.因为，所以，一定有解， 因此函数一定有零点. 【点睛】本题考查零点的定义，函数的零点就是方程的解． 6．当是什么实数时，函数没有零点？ 【答案】或 【解析】先看，再看，此时就是方程无实根，即得． 【详解】解：①当时，令，得，有零点（舍去）. ②当时，因为函数无零点，则对应方程无解. 令，得， 所以，解得或. 因此当或时，函数没有零点. 【点睛】本题考查零点的概念，掌握零点的定义是解题关键． 7．写出一个同时满足下列两个条件的函数： （1）； （2）无零点. 【答案】见解析 【解析】零点存在定理中有条例在区间上连续，去掉这个条件结论不一定成立． 从这个方面考虑可得反例． 【详解】解：如函数. ，且无零点. 【点睛】本题考查零点存在定理，掌握零点存在定理是解题关键． 8．已知函数是偶函数，其图像与轴有四个交点，试求方程的所有实根的和. 【答案】0 【解析】四个根关于轴对称，和易求． 【详解】解：因为是偶函数，所以的图像关于轴对称，又因为其图像与轴有四个交点，设其为，则. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，偶函数图象关于原