椭圆离心率 圆锥曲线专题复习讲义-2024届高三数学一轮复习

椭圆(重点题型方法与技巧) 类型六：椭圆的离心率问题 方向1：利用椭圆第一定义去转换 例1．（2022·山东·青岛二中高三期末）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解析】在椭圆C：中，由椭圆的定义可得，因为， 所以，在中，，由余弦定理，即，所以，所以C的离心率.故选：A. 例2．（2022·山西太原·一模（理））设，是椭圆：的左、右焦点，过点斜率为的直线交椭圆于点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【解析】因过点斜率为的直线交椭圆于点，则有，， 因此，在中，，令椭圆半焦距为c，于是得，，由椭圆定义得：，， 所以椭圆的离心率是.故选：B 例3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与相交于两点（在第一象限）.若四点共圆，且直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解析】根据题意四边形为平行四边形，又由四点共圆，可得平行四边形为矩形，即又直线的倾斜角为，则有则，， 则，即则椭圆的离心率故选：B 例4．（2022·海南中学高三阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点．设椭圆方程为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，则该椭圆的离心率为_________． 【解析】由椭圆的光学性质可知，都经过，且在中，，如图，所以， 由椭圆的定义可知，即，又， 可得，在中，， 所以，所以.故答案为： 例5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，所以，则，由椭圆的定义可得，所以，因为，所以，解得，， 在中，，在中，，因为， 所以，即，所以所以.故选：C 例6．（2022·浙江·高三开学考试）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【解析】由已知，可根据条件做出下图：因为，令，所以，，由椭圆的定义可知，所以，所以，，，， 由椭圆的定义可知，在中，，所以,在中， ，所以 所以.所以的离心率是.故选：D. 例7．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______. 【解析】如图所示：延长，交于点Q， ∵PA是的外角平分线，，， 又O是的中点，，且. 又，， ，∴离心率为.故答案为： 例8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，，AB是椭圆过点的弦，点A关于原点O的对称点为，，且，则椭圆的离心率为___________. 【解析】连接，，，设，因为，所以四边形为平行四边形，而，故四边形为矩形，故.又，由椭圆的定义可得，，，即， 解得，∴是短轴的端点，且，，. 故答案为：. 例9．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的两个焦点是，过的直线与交于P，Q两点，若，且，则椭圆的离心率为_____________． 【解析】设椭圆 ，， 设 由椭圆的定义可得 ， 可得 取 的中点 ，连接 ，则由勾股定理可得 即为将带入上式化简可得，所以，所以， 所以或者，所以或（舍），所以 .故答案为：． 例10．（2022·重庆八中高三开学考试（理））设椭圆E:1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),点A(﹣c,c)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得|PA|+|PF|=9c,则椭圆E的离心率取值范围为 A．[,1) B．[,] C．[,] D．[,] 【解析】如图：设椭圆的另一个焦点为，因为， 所以 由， 所以，所以，即，所以.因为点在椭圆内，所以，所以，所以，解得，因为，所以.故选：D 方向2：利用与建立一次二次方程或不等式 例1．若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（    ） A．或 B． C． D．或 【解析】是2和8的等比中项，或，当时，方程为，表示椭圆， ，离心率为，当时，方程为，表示双曲线， ，离心率为，故选：A 例2．（2022·江西·高三开学考试（文））设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分， ∴四边形是矩形，其中，， 设，则，根据勾股定理，，，整理得，由于点M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得.故选：