双曲线及其性质（题型八至十一） 讲义-2024届高三数学一轮复习

双曲线重点题型复习 题型八：双曲线的简单几何性质问题 例1．已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】设的焦距为，离心率为．当时，由平面几何知识得，解得．∵，∴．根据双曲线上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当时，实数的取值范围是．故选：D. 例2．（多选题）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为为上一点，则（    ） A．双曲线的实轴长为2 B．双曲线的一条渐近线方程为 C． D．双曲线的焦距为4 【解析】由双曲线方程知：，离心率为，解得，故， 实半轴长为1，实轴长为，A正确；因为可求得双曲线渐近线方程为，故一条渐近线方程为，B正确；由于可能在的不同分支上，则有，C错误； 焦距为正确.故选：ABD. 例3．（多选题）（2022·湖南益阳·模拟预测）已知双曲线经过点，则（    ） A．的实轴长为 B．的焦距为 C．的离心率为 D．的渐近线方程是 【解析】由题意得，得即双曲线方程为．所以，双曲线的实轴长是，焦距是，离心率为，渐近线方程是故BC正确，AD错误，故选：BC 题型九：利用第一定义求解轨迹 例1．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】如图设与圆的切点分别为、、，则有，，，所以．根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即、，又，所以，所以方程为．故选：A． 【方法技巧与总结】 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 例2．已知，是的两个顶点，且，则顶点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】，由正弦定理，得（定值），双曲线的焦距，，即，得A的轨迹是以为焦点的双曲线左支，由，得双曲线的方程为，顶点A的轨迹方程为，故选：A． 例3．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆的轨迹方程是（    ） A．（） B．（） C． D． 【解析】设动圆的半径为，由题意知，圆的圆心坐标为，半径为4．动圆与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以，所以，即动点到两定点的距离之差为常数4，所以点在以，为焦点的双曲线上，所以，，所以，所以动圆的轨迹方程是．故选：D. 例4．在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】如图，设切线的切点分别为，则，，， ，所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支（除去与轴交点）， ，，，则，双曲线方程为，轨迹方程为，故选：A． 例5．已知圆的圆心为，过点的直线交圆于两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【解析】将化为，即该圆的圆心为，半径为， 因为，所以，又，所以，则，即，所以，所以点的轨迹是双曲线.故选：C. 例6．已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（    ） A．x＝0 B． C． D．或x＝0 【解析】①当⊙M与⊙C1，⊙C2同时内切或者外切时，M点在y轴上，∴其轨迹方程为x＝0 ②当⊙M与⊙C1内切、与⊙C2外切时有，当⊙M与⊙C1外切，与⊙C2内切时有，即M轨迹为双曲线，，，b2＝c2－a2＝16－2＝14，所以方程为综上：轨迹方程为或x＝0，故选：D 例7．已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D．(x≤－1) 【解析】设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r， 由动圆M与圆C1和圆C2均外切可得|MC1|＝r+1，|MC2|＝r+3，相减可得|MC2|﹣|MC1|＝2＜|C1C2|，故点M的轨迹是以C1、C2 为焦点的双曲线的左支． 由题意可得 2a＝2，c＝3，∴b＝，故点M的轨迹方程为 x2﹣＝1（x≤﹣1），故选：D. 例8．已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】设圆C的半径为R，由题意可知，两圆的圆心为：，∴，可知点C的轨迹为以为焦点，