第二十七章 相似（知识归纳+题型突破）（七大热点，100题）-2023-2024学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第二十七章 相似 1、结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．2、能画反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解k >0和k <0时图象的变化情况． 3、能用反比例函数解决简单实际问题． 一.比例和比例线段的有关概念： 1.比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的基本性质 (1)基本性质：⇔ ad＝bc；（b、d≠0） (2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0） (3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔ ＝.（b、d、···、n≠0） 3.平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 4.黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(－1)cm 二.相似三角形的判定方法 1.两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF. 2. 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF. 3.三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF. 三.相似三角形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 四.位似 1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比. 2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. ◎3. 位似变换: ①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心. ②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形. ③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小. 题型一成比例线段 【例1】（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D．，，， 巩固训练： 1．（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考期中）下列长度的四组线段中，是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是（    ） A．6 B．4 C．8 D．10 3．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．2，4，3，5 C．4，8，5，10 D．3，9，4，7 4．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）已知四个数，，，成比例，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（    ） A． B．8 C．2 D．3 6．（2023上·安徽六安·九年级统考期中）已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（    ） A． B．8 C．9 D．10 7．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）下列各组线段中，长度成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 8．（2023上·上海嘉定·九年级统考期中）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．，，， B．，，，； C．，．，； D．，，， 9．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）已知2，，4，是一组成比例线段，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 10．（2023上·上海崇明·九年级校联考期中）在比例尺是的地图上测得A、B两点间的距离为2厘米，那么两地的实际距离为 千米． 11．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）已知线段，则线段a和b的比例中项为 ． 题型二平行线分线段成比例定理 【例2】（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）已知：如图，中，D、E分别在上，，若，求的长．    巩固训练： 1．（2023上·上海宝山