精品解析：陕西省西安市长安区第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

长安一中2023-2024学年度第一学期期中考试 高二数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 双曲线的渐近线方程是（ ） A B. C. D. 2. 已知直线交圆于，两点，则（为坐标原点）的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 4. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设直线，直线，则关于对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（ ） A. 10 B. 12 C. 20 D. 24 8. 已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相切 10. 已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（ ） A. 曲线可以是圆 B. 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆 C. 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线 D. 当曲线是双曲线时，其焦距为8 11. 已知，分别是正方体的棱和的中点，则（ ） A. 与是异面直线 B. 与所成角大小为45° C. 与平面所成角的余弦值为 D. 二面角的余弦值为 12. 已知点，点是双曲线：左支上的动点，为其右焦点，是圆：上的动点，直线交双曲线右支于点（为坐标原点），则（ ） A. 过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条 B. 的最小值为 C. 若的内切圆与圆外切，则圆的半径为 D. 过点作轴的垂线，垂足为（与不重合），连接并交双曲线右支于点，则（为直线斜率，为直线斜率） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应位置.） 13. 抛物线的准线方程为_______. 14. 直线与直线平行，则实数的值为______. 15. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 16. 椭圆：左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是_________. 四、解答题（本大题共60分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）设，求的值域. 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面为中点，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积. 20. 已知圆过点和，且与直线相切． （1）求圆的方程； （2）设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程． 21. 如图，在四棱锥中，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若，点是中点，且四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值. 22. 在平面直角坐标系中，椭圆＋，过点的动直线与椭圆相交于两点. （1）求面积的最大值； （2）是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长安一中2023-2024学年度第一学期期中考试 高二数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可. 【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，即. 故选：D 2. 已知直线交圆于，两点，则（为坐标原点）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，再结合圆的的弦长公式，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心， 则圆心 到直线的距离为， 所以， 所以. 故选：B. 3. 已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C.