精品解析：江西省抚州市东乡区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

2023—2024学年度上学期期中考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确答案） 1. 如图，由图形改变为图形，这种图形改变属于（ ） A 平移 B. 轴对称 C. 旋转 D. 相似 2. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. 0 C. 或2 D. 2 3. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 四边形的对角线交于点O，有下列论断：①；②；③，；④矩形；⑤菱形；⑥正方形．其中推理不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知：如图，，小静进行了以下作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 如图，正方形，点在对角线上，，分别交、于点、，若随机向正方形内投一粒米，则落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，则______． 8. 鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为10cm，则的长为______cm．（结果保留根号） 9. 已知关于的一元二次方程，若方程的一个根是，则另一个根是__________． 10. 如图，在中，、分别为、边上点，，若，，，则______． 11. 三角形两边的长是6和8，第三边满足方程，则三角形周长为______． 12. 如图，，，，，，点在上移动，当与相似时，的值为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1） ； （2）． 14. 已知，求的值． 15. 如图是正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，在边上找一点P，使得． （2）如图2，在边上找一点Q，使得． 16. 如图，D，E分别为边上两点，且，，，．求证：． 17. 已知关于的方程 （1）求证：无论p去何值，方程总有两个不相等的实数根 （2）若，设方程的两个实数根分别为，，求的值 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知：如图，在四边形ABCD中，，，，. 求证：（1）； （2）. 19. 某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？ （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 20. “一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成四张卡片A、B、C、D（除编号和人物肖像外其余完全相同）．活动时学生根据所抽取的卡片上的人物来讲述该人物在书中的故事．游戏规则如下：将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片选匀后，背面向上放好，小华从剩下的3张卡片中随机抽取一张．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小明讲，否则由小华讲． （1）小明抽到的卡片上的人物为唐僧的概率是 ； （2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分．） 21. 我们不妨约定：对角线互相垂直且相等的凸四边形叫做“奇妙四边形”． （1）在“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中一定是“奇妙四边形”有_____；（请填序号） （2）如图1，为凸四边形内一点，如果和分别是以，为底的等腰直角三角形，求证：四边形是“奇妙四边形”； （3）如图2，“奇妙四边形”的对角线与交于点，、分别是边、的中点，若，求的长． 22. 数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于．当时，与的比值是多少？ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，，如图，则可得：，因为，所以．可求出和的值，进而可求得与的比值． （1）请按照小明的思路写出求解过程． （2）小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论．你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证