解排列组合问题常用方法讲义（20种）-2024届高三数学一轮复习

              解排列组合问题常用方法（二十种）

一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）

例、由可以组成多少个没有重复数字五位奇数？

分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。末位和首位有特殊要求。先排末位，从三个数中任选一个共有种组合；然后排首位，从和剩余的两个奇数中任选一个共有种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有种排列。由分步计数原理得。

 

变式、种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多 少不同的种法？

分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有种排列，再种其它葵花有种排列。由分步计数原理得。

 

二、相邻问题捆绑法

例、人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？

分析：分三步。先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理得。

 

变式、某人射击枪，命中枪，枪命中恰好有枪连在一起的情形的不同种数为            。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有种排列。

 

三、相离问题插空法

例、一个晚会节目有个舞蹈，个相声，个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？

分析：相离问题即不相邻问题。分两步。第一步排个相声和个独唱共有种排列，第二步将个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有种排列，由分步计数原理得。

 

变式、某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节

    目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为            。　

分析：将个新节目插入原定个节目排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有种排列，

由分步计数原理得。         

 

四、定序问题除序（去重复）、空位、插入法

例、人排队，其中甲、乙、丙人顺序一定，共有多少种不同的排法？

分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。共有不同排法种数为：。

     （空位法）设想有把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有种坐法；甲、乙、丙坐其余的三个位置，共有种坐法。总共有种排法。

           思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以）

         （插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有种选法；余下四个空座位让其余四人

就坐，共有种坐法。总共有种排法。

 

变式、人身高各不相等，排成前后排，每排人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的

排法？

分析：人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。若排成一排，则只有一种排法；现排成前后两排，因此共有种排法。

 

五、平均分组问题倍除法（去重复法）

例、本不同的书平均分成堆，每堆本，有多少种不同的分法？

分析：分三步取书有种分法，但存在重复计数。记本书为，若第一步取，第二步取，第三步取，该分法记为，则在中还有、、、、共种分法 ，而这些分法仅是一种分法。总共应有种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，分组后一定要除以（为均分的组数），避免重复计数。

 

变式①、将个球队分成组，一组个队，其它两组个队，有多少种不同的分法？

分析：分三步。第一步取个队为一组，有种分法；余下个队平均分成两组，每组个队，有种分法，但存在重复计数。记个队为，若第二步取，第三步取，该分法记为，则在中还有共种分法，而这种分法是同一种分法。总共应有种分法。

 

变式②、名学生分成组，其中一组人，另两组人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法？

分析：㈠总的分组方法：分三步。第一步取人为一组，有种分法；余下个人平均分成两组，每组个人，有种分法，但存在重复计数。记个人为，若第二步取，第三步取，该分法记为，则在中还有共种分法，而这种分法是同一种分法。总共应有种分法。

      ㈡正、副班长同分在人一组：分三步。第一步在人中取人，加上正、副班长共人为一组，有种分法；余下个人平均分成两组，每组个人，有种分法，但存在重复计数。记个人为，若第二步取，第三步取，该分法记为，则在中还有共种分法，而这种分法是同一种分法。总共应有种分法。

      ㈢正、副班长同分在人一组：分三步。第一步在人中取人，有种分法；第二步在余下的人中取人，有种分法；第三步余下人加上正、副班长形成一组，只有一种分法。总共应有种分法。

㈠       ㈡减㈢得：总共有种分法。

 

变式③、某校高二年级共有个班级，现从外地转入名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安

排名，则不同的安排种数为            。

分析：分三步。前两步将转入的名学生平均分成两组，每组名学生，有种分法，但存在重复计数。记名学生为，若第一步取，第二步取，该分法记为，则在中还有共种分法，而这种分法是同一种分法。第三步将分成的两组分配到个班级，有种分法。总共应有种分法。

 

六、元素相同问题隔板法

例、有个运动员名额，分给个班，每班至少一个，有多少种分配方案？

分析：隔板法也就是档板法。分两步。第一步：每班分配个名额，只有种分法；第二步：将剩下的个名额分配给个班。取块相同隔板，连同个相同名额排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。每一种插板方法对应一种分法，由分步计数原理知，共有种分法。

 

变式①、个相同的球装入个盒中，每盒至少一球，有多少中装法？ 

分析：分两步。第一步：每盒先装入个球，只有种装法；第二步：将剩下的个球装入个盒中。取块相同隔板，连同个相同的球排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。每一种插板方法对应一种装法，由分步计数原理知，共有种装法。

 

变式②、，求这个方程的自然数解的组数。  

分析：取块相同隔板，连同个相同的排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。每一种插板方法对应一组数，共有组数。

 

七、正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法）

例、从十个数字中取出三个，使其和为不小于的偶数，不同的取法有多少种？

分析：直接求不小于的偶数很困难，可用总体淘汰法。十个数字中有个偶数个奇数，所取的三个数字含有个偶数的取法有，只含有个偶数的取法有，和为偶数的取法共有。淘汰和小于的偶数共种、、、、、、、、，符合条件的取法共有。

 

变式、一个班有名同学，从中任抽人，正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有多少种?

分析：未抽到正、副班长、团支部书记的抽法有种；正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有种。

 

八、重排问题求幂法

例、把名实习生分配到个车间实习，共有多少种不同的分法？

分析：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有种分法，把第二名实习生分配到车间也有种分法，依此类推，由分步计数原理共有种不同的分法。

 

变式①、某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为           。

分析：完成此事共分两步：把第一个新节目插入原定个节目排后形成的六个空中，有种插法；把第二个新节目插入前面个节目排后形成的七个空中，有种插法。由分步计数原理共有种不同的插法。