专题6.2 双角平分线模型-2023-2024学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题 4.2 双角平分线模型 角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这 个角的平分线。 已知 OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB 1、 双角平分线模型的概述：两角共一边，求角平分线之间夹角。 模型一：两角有公共部分（作和） 已知 OC 是∠AOB 内的一条射线，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，求∠MON . 证明：∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC ∴∠MOC= ∠AOC,∠CON= ∠BOC ∴∠MON=∠MOC+∠CON= ∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角和的一半 模型二：两角有公共部分（作差） 已知 OC 是∠AOB 外的一条射线，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，求∠MON . 证明：∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC ∴∠MOC=∠AOC,∠CON=∠BOC ∴∠MON=∠MOC-∠CON= ∠AOC- ∠BOC= ∠AOB 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角差的一半 总结：一条射线把一个角分成两个角，这两个角的平分线所形成的角等于原角的一半. 【典例1】（2022秋•管城区校级期末）如图，∠AOB是平角，∠DOE＝90°，OC平分∠DOB． （1）若∠AOE＝36°，求∠BOC的度数； （2）若OD是∠AOC的角平分线，求∠AOE的度数． 【变式1-1】（2022秋•永川区期末）如图所示，OE，OD分别平分∠AOB和∠BOC，且∠AOB＝90°； （1）如果∠BOC＝40°，求∠EOD的度数； （2）如果∠EOD＝70°，求∠BOC的度数． 【变式1-2】（2022秋•歙县期末）如图，∠AOB＝180°，OD是一条射线，OC，OE分别是∠AOD，∠BOD的角平分线． （1）求∠COE的度数； （2）若∠COD：∠DOE＝1：2，求∠AOE的度数． 【变式1-3】（2022秋•宁波期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE． （1）求∠DOF的度数； （2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 【典例2】（2022秋•连山区期末）已知：∠MON＝120°，∠AOB＝60°，OC平分∠AON． （1）如图1，射线OA与射线OB均在∠MON的内部，若∠BOC＝20°，∠MOA＝　40　°； （2）如图2，射线OA在∠MON的内部，射线OB在∠MON的外部． ①若∠BOC＝α，求∠MOA的度数（用含α的式子表示）； ②若在∠MOA的内部有一条射线OD，使得∠AOD＝∠BON，直接写出∠MOD的度数． 【变式2-1】（2022秋•集贤县期末）如图，OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线； （1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？ （2）如图2，当∠AOB＝α时，∠MON的度数是多少？ 【变式2-2】（2022秋•铁西区期末）如图，射线OA在∠BOC的内部，已知∠AOB＝α，∠AOC＝β（0°＜α＜90°，0°＜β＜90°），OP与OQ分别是∠AOB和∠BOC的平分线． （1）当α＝40°，β＝30°时，求∠POQ的度数； （2）当α＝40°，β＝60°时，则∠POQ的度数为 　　； （3）继续探究，发现∠POQ与β之间存在着一定的数量关系，这个数量关系是：　　． 【变式2-3】（2022秋•九龙坡区期末）已知∠AOB、∠COD共顶点O，OM平分∠AOD，ON平分∠COB． （1）如图1，当OB与OD重合时，若∠AOB＝130°，∠MON＝25°，求∠BOC的度数； （2）将∠COD绕点O逆时针旋转至图2所示位置，若∠BOD＝60°，∠AOC＝10°，求∠MON的度数． 【典例3】（2022秋•越秀区期末）如图，长方形纸片ABCD，点E，F，G分别在边AD，AB，CD上．将∠AEF沿折痕EF翻折，点A落在点A'处；将∠DEG沿折痕EG翻折，点D落在点D'处． （1）如图1，若∠AEF＝40°，∠DEG＝35°，求∠A'ED'的度数； （2）如图1，若∠A'ED'＝α，求∠FEG的度数（用含α的式子表示）； （3）如图2，若∠A'ED'＝α，求∠FEG的度数（用含α的式子表示）． 【变式3-1】（2022秋•仪征市期末）如图，长方形ABCD沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点A'和点D'处，若∠1＝30°，则∠2的度数为 　　． 【变式3-2】（2022秋•宿城区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EF、FG为折痕．若∠EFA'＝30°，则∠GFB＝　　． 【变式3-3】（2022秋•铜梁区校级期末）如图，