(练习)课时分层作业18 曲线与方程-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版2019)

课时分层作业(十八)　曲线与方程 一、选择题 1．曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是(　　) A．(0,0)　　　　 B． C．(1,5) D．(4,4) D　[利用“曲线的方程”和“方程的曲线”的意义进行判断．] 2．方程x2＋y2＝1(xy＜0)的曲线形状是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　　D C　[方程x2＋y2＝1(xy＜0)表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分．] 3．方程x2＋2y2＋2x－2y＋＝0表示的曲线是(　　) A．一个点　　　　　 B．一条直线 C．一个圆 D．两条线段 A　[方程可化为(x＋1)2＋2＝0，所以即它表示点. 故选A．] 4．在平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　) A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线 A　[设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)， 因为＝λ1＋λ2，所以解得 又λ1＋λ2＝1，所以x＋2y－5＝0，表示一条直线．] 5．已知点A(2,0)，点B在圆x2＋y2＝1上，点C是∠AOB的平分线与线段AB的交点，则当点B运动时，点C的轨迹方程为(　　) A．＋y2＝ B．＋y2＝ C．＋y2＝ D．＋y2＝ A　[设B(x0，y0)，C(x，y)． 由＝2，得＝2，所以＝2，即(x－2，y)＝2(x0－x，y0－y)，所以因为点B(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，所以＋＝1，化简得＋y2＝.故选A．] 二、填空题 6．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的图形是________． 两个点　[由题意所以或所以方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是两个点(1,1)或(－1，－1)．] 7．对于曲线x2－xy＋y2＝1有以下判断： (1)它表示圆； (2)它关于原点对称； (3)它关于直线y＝x对称； (4)x≤1且|y|≤1． 其中正确的有________(填上相应的序号即可)． (2)(3)　[(1)曲线x2－xy＋y2＝1中含有xy项，方程不表示圆； (2)在原方程中，同时将x换成－x，且将y换成－y，方程不变，就说明曲线关于原点对称； (3)在原方程中，将x，y互换，方程不变，因此曲线关于直线y＝x对称； (4)x＝时，y2－－＝0，所以y＝，不满足|y|≤1，即(4)不正确．] 8．动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－，则动点P的轨迹方程为________． x2＋2y2－2＝0(x≠±)　[设P(x，y)，由题意知，x≠±，kAP＝， kBP＝，由条件知kAP·kBP＝－， 所以×＝－， 整理得x2＋2y2－2＝0(x≠±)．] 三、解答题 9．曲线x2＋(y－1)2＝4与直线y＝k(x－2)＋4有两个不同的交点，求k的范围，若有一个交点、无交点呢？ [解]　由 得(1＋k2)x2＋2k(3－2k)x＋(3－2k)2－4＝0， Δ＝4k2(3－2k)2－4(1＋k2)[(3－2k)2－4]＝48k－20. 所以Δ＞0，即k＞时，直线与曲线有两个不同的交点； Δ＝0，即k＝时，直线与曲线有一个交点； Δ＜0，即k＜时，直线与曲线没有交点． 10．设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且＝，求点M的轨迹方程． [解]　设点M(x，y)，P(x0，y0)， 则由题意知P0(x0,0)． 由＝(x0－x，－y)，＝(0，－y0)， 且＝，得(x0－x，－y)＝(0，－y0)， 所以于是 又x＋y＝4， 所以x2＋y2＝4， 所以，点M的轨迹方程为＋＝1． 1．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线|y|＝4－x2围成的平面区域的直径为(　　) A．2　 B．4 C．8　　　　 D．2 C　[曲线|y|＝4－x2， 等价于y＝作出其图像如图： 由图形可知，上下两个顶点之间的距离最大为8， 那么曲线|y|＝4－x2围成的平面区域的直径为8．] 2．(多选题)在平面直角坐标系中，曲线C上任意点P与两个定点A(－2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2，则关于曲线C的结论正确的有(　　) A．曲线C是轴对称图形 B．曲线C上所有的点都在圆x2＋y2＝2外 C．曲线C是中心对称图形 D．曲线C上所有点的横坐标x满足|x|＞2 BC　[设P(x，y)，则kPA＋kPB＝2，即＋＝2(x≠±2)，整理得x2－xy＝4(x≠±2)，所以曲线C是中心对称图形，不是轴对称图形，故C正确，A错误，x2＋y2＝2x2＋－8≥8－8>2，故B正确；由x2－xy＝4可知，x∈R且x≠0，x≠±2，故D错误