(练习)课时分层作业17 圆与圆的位置关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版2019)

课时分层作业(十七)　圆与圆的位置关系 一、选择题 1．圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的位置关系为(　　) A．相离 B．相交 　　　 C．相切　　　 D．内含 B　[圆x2＋y2＝4的圆心坐标为(0,0)，半径为2，圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心坐标为(1，－2)，半径为3，两圆的圆心距为＝，半径和为5，半径差的绝对值为1，因为1＜＜5，所以两圆相交．] 2．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．E＝－4，F＝8 B．E＝4，F＝－8 C．E＝－4，F＝－8 D．E＝4，F＝8 C　[由圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0作差，得－4x－Ey＋F＋4＝0.所以E＝－4，F＝－8．] 3．若圆C：x2＋(y－4)2＝18与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝r2的公共弦长为6，则圆D的半径为(　　) A．5 B．2 C．2 D．2 D　[两圆方程相减得2x－6y＝4－r2，又由圆C的方程为x2＋(y－4)2＝18，其圆心为(0,4)，半径r＝3，两圆的公共弦长为6，则点(0,4)在直线2x－6y＝4－r2上，则有2×0－6×4＝4－r2，r2＝28，r＝2.] 4．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为(　　) A．x2＋y2－6x－8y＝0 B．x2＋y2＋6x－8y＝0 C．x2＋y2＋6x＋8y＝0 D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0 B　[已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3,4)，可知选B．] 5．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b应满足的关系式为(　　) A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0 C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 B　[因为圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长．所以两圆交点的直线过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心(－1，－1)，两圆方程相减可得(2＋2a)x＋(2＋2b)y－a2－1＝0， 将(－1，－1)代入可得－2－2a－2－2b－a2－1＝0， 即5＋2a＋2b＋a2＝0，所以B选项是正确的．] 二、填空题 6．已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆M：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，则圆C的方程为________． (x－2)2＋(y－1)2＝4　[设圆C的半径为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0.将圆C与圆M的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0.因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4． 故圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4．] 7．过原点O作圆x2＋y2－4x－8y＋16＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为__________． x＋2y－8＝0　[把圆的方程化成标准方程(x－2)2＋(y－4)2＝4， 所以圆心为(2,4)，半径为2．圆心到原点的距离为＝2.所以切线长为＝4，所以P，Q在以(0,0)为圆心，以4为半径的圆上，方程为x2＋y2＝16． 由 得x＋2y－8＝0.这就是PQ所在直线的方程．] 8．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________． 　[圆C：(x－4)2＋y2＝1，如图，要满足直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y＝kx－2的距离小于或等于2， 即≤2，解得0≤k≤.所以kmax＝.] 三、解答题 9．求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0交点的圆的方程． [解]　法一(几何法)：由 得到两圆公共弦为y＝x， 由解得或 所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)， 线段AB的垂直平分线方程为y－1＝－(x－1)． 由得 所以所求圆的圆心为(3，－1)， 半径为＝4． 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16． 法二(待定系数法)：由法一知两圆交点为A(－1，－1)，B(3,3)． 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由得 所以所求圆的方程为(x－3