(练习)课时分层作业16 直线与圆的位置关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版2019)

课时分层作业(十六)　直线与圆的位置关系 一、选择题 1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　) A．相离　　　　　 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 C　[易知直线过定点(0,1)且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．] 2．已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的圆的切线方程为(　　) A．y＝x＋ B．y＝－x＋ C．y＝x＋或y＝－x＋ D．x＝1或y＝x＋ C　[在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋，则＝1， 所以k＝±1，故所求切线方程为y＝x＋或y＝－x＋.] 3．如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆的位置关系是(　　) A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D．不能确定 A　[直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4的圆心之间的距离为d＝. 又直线与圆有两个不同的交点， 所以d＜r，即＜2，所以a2＋b2＞4，所以点P(a，b)在圆外．] 4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点C(－2,3)，则直线l的方程为(　　) A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0 A　[由圆的一般方程可得圆心O(－1,2)，由圆的性质易知O(－1,2)，C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kAB·kOC＝－1⇒kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.] 5．(多选题)在同一直角坐标系中，直线ax－y＋a＝0与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置可能是(　　) 　 A　　 　B　　　　　C　　　　D AD　[圆(x＋a)2＋y2＝a2的圆心(－a,0)，半径为|a|， 由题意可得d＝， 不妨设＜|a|，可得＜1，即1－2a＋a2＜1＋a2，当a＞0时，恒成立，可知A正确，B不正确； 当a＜0时，不等式不成立，说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，所以C不正确，截距是负数，所以D正确．] 二、填空题 6．(2021·天津卷)若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1相切于点B，则|AB|＝________. 　[设直线AB的方程为y＝x＋b，则点A(0，b)， 由于直线AB与圆x2＋(y－1)2＝1相切，且圆心为C(0,1)，半径为1， 则＝1，解得b＝－1或b＝3，所以|AC|＝2， 因为|BC|＝1，故|AB|＝＝.] 7．直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则b的取值范围是________． [1，)　[曲线C的方程可化为x2＋y2＝1(y≥0)，易知曲线的图像为以(0,0)为圆心，1为半径的圆的上半部分，如图所示，直线y＝x＋b是平行于y＝x的直线，由图知直线夹在l1与l2之间，含l2，不含l1，故1≤b＜.] 8．已知M(x，y)是圆x2＋y2＝1上任意一点，则的取值范围是________． 　[设＝k，则直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1有公共点， 所以≤1，即3k2≤1， 所以－≤k≤.] 三、解答题 9．已知圆C的圆心为(1,1)，直线x＋y－4＝0与圆C相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若另一条直线过点(2,3)，且被圆C所截得的弦长为2，求此直线的方程． [解]　(1)由题意可知圆C的半径r＝＝， 所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2． (2)由弦长为2得圆心到直线的距离为＝1． 当直线斜率不存在时，x＝2满足题意； 当直线斜率存在时，设直线y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0， 由＝1，解得k＝，所以直线方程3x－4y＋6＝0. 综上，所求直线方程为x＝2或3x－4y＋6＝0. 10．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点． (1)求圆A的方程； (2)当|MN|＝2时，求直线l的方程． [解]　(1)设圆A的半径为r， 因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切， 所以r＝＝2， 所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)当直线l与x轴垂直时， 则直线l的方程x＝－2， 此时有|MN|＝2，即x＝－2符合题意． 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＝0， 因为Q是MN的中点，所以AQ⊥MN， 所以|AQ|2＋＝r2， 又因为|MN|＝2，r＝2，所以|AQ|＝＝1， 解方程|AQ|＝＝1，得k＝， 所以此时直线l的方程为y－0＝(x＋2)， 即3x－4y＋6＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0. 1．(