2.3.3 直线与圆的位置关系-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.3.3　直线与圆的位置关系 (教师独具内容) 课程标准：1.能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 教学重点：直线与圆的三种位置关系及其判定方法． 教学难点：用代数方法探求直线与圆的位置关系的过程． 核心素养：通过判定直线与圆的位置关系以及解决有关圆的切线、弦长问题培养直观想象素养、数学抽象素养和数学运算素养． 知识点一　直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系，列表如下： 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 知识点二　直线与圆位置关系的判定方法 (1)代数法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l与圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk， Δ>0⇔直线l与圆M相交； Δ＝0⇔直线l与圆M相切； Δ<0⇔直线l与圆M相离． (2)几何法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心为M(a，b)，半径为r的圆，圆心M到直线l的距离d＝． d<r⇔直线l与圆M相交； d＝r⇔直线l与圆M相切； d>r⇔直线l与圆M相离． [拓展]　圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2. 1．(直线与圆相交)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上均有可能 答案：A 2．(直线与圆相离)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，2] B．(1，2] C．(0，2) D．(1，2) 答案：C 3．(直线与圆相切)以点A(1，－2)为圆心，且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝ B．(x－1)2＋(y＋2)2＝ C．(x＋1)2＋(y－2)2＝ D．(x＋1)2＋(y－2)2＝ 答案：A 题型一　直线与圆位置关系的判定　 例1　(1)已知圆O：x2＋y2＝1，直线lα：xcosα＋ysinα＋1＝0，α∈R，则直线lα与圆O的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．都有可能 [解析]　因为圆O：x2＋y2＝1的圆心坐标为O(0，0)，半径r＝1，则圆心O(0，0)到直线lα：xcosα＋ysinα＋1＝0，α∈R的距离d＝＝1＝r，所以直线lα：xcosα＋ysinα＋1＝0，α∈R与圆O：x2＋y2＝1相切．故选C. [答案]　C (2)已知圆的方程是x2＋(y－1)2＝2，直线y＝x－b，当b为何值时，直线与圆有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？ [解]　解法一：联立 得2x2－2(1＋b)x＋b2＋2b－1＝0，　① 其判别式Δ＝4(1＋b)2－8(b2＋2b－1)＝－4(b＋3)(b－1)， 当－3<b<1时，Δ>0，方程①有两个不相等的实数根，直线与圆有两个公共点； 当b＝－3或b＝1时，Δ＝0，方程①有两个相等的实数根，直线与圆只有一个公共点； 当b<－3或b>1时，Δ<0，方程①无实数根，直线与圆没有公共点． 解法二：圆心(0，1)到直线y＝x－b的距离d＝，圆的半径r＝. 当d<r，即－3<b<1时，直线与圆相交，有两个公共点； 当d＝r，即b＝－3或b＝1时，直线与圆相切，只有一个公共点； 当d>r，即b<－3或b>1时，直线与圆相离，没有公共点． 【感悟提升】直线与圆位置关系的判定方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线的方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点且定点在圆内，则可判断直线与圆相交，这种方法适用于动直线问题． 【跟踪训练】 1．(1)直线l：y－1＝k(x－1)与圆C：x2＋y2－2y＝0的位置关系是(　　) A．相离 B．相切或相交 C．相交 D．相切 答案：C 解析：直线l过定点A(1，1)，因为将点A的坐标代入圆C方程中，得12＋12－2×1＝0，所以点A在圆上．因为直线x＝1过点A且为圆的切线，又直线l的斜率存在，所以直线l与圆C一定相交．故选C. (2)已知直线的方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆： ①有两个公共点？ ②只有一个公共点？ ③没有公共点？ 解：解法一：将直线的方程mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理，得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，则Δ＝4m(3m＋4)． ①当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． ②当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． ③当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 解法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2，1)，半径r＝2. 圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝. ①当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． ②当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． ③当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 题型二　圆的切线问题　 例2　(1)经过点(－3，4)且与圆x2＋y2＝25相切的直线的方程是________________． [解析]　由题意，知圆x2＋y2＝25的圆心为O(0，0)，半径r＝5，如图，因为(－3)2＋42＝25，即点A(－3，4)在圆x2＋y2＝25上，且kOA＝－，可知切线的斜率k＝，所以切线的方程为y－4＝(x＋3)，即3x－4y＋25＝0. [答案]　3x－4y＋25＝0 (2)经过点(2，4)且与圆x2＋y2＝4相切的直线的方程是________________． [解析]　由题意，知圆x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径r＝2，因为22＋42＝20>4，即点B(2，4)在圆x2＋y2＝4外．如图，当直线斜率不存在时，则直线的方程为x＝2，此时圆心O(0，0)到直线x＝2的距离d＝2＝r，即直线x＝2与圆x2＋y2＝4相切，符合题意；当直线斜率存在时，设为k，则直线的方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，可得圆心O到直线的距离为＝2，解得k＝，所以直线的方程为3x－4y＋10＝0.综上所述，切线方程为x＝2或3x－4y＋10＝0. [答案]　x＝2或3x－4y＋10＝0 (3)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆作切线，切线长的最小值是________． [解析]　由题意，知圆心C(－1，2)，半径r＝，将圆心C(－1，2)代入直线2ax＋by＋6＝0，得b＝a－3，故点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝＝3，所以切线长的最小值为＝＝4. [答案]　4 【感悟提升】 1．过某一点的圆的切线方程的求法 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数． (1)若点(x0，y0)在圆上(有一条切线) ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程； ②如果切点与圆心连线的斜率k为零或不存在，则由图形可直接得切线方程为x＝x0或y＝y0. (2)若点(x0，y0)在圆外(有两条切线) ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，则可得切线方程； ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，则可得切线方程． 当用上述方法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． 提醒：已知一点求圆的切线方程时，切勿漏掉斜率不存在的情况． 2．切线长公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线长为d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线长为d＝. 提醒：涉及切线长的最值问题，通常把切线长用一个变量表示，利用函数求最值．或者把切线长最值问题转化为圆心到直线的距离问题． 【跟踪训练】 2．(1)圆x2＋y2－6y＝0在点P(，1)处的切线方程为(　　) A.x－2y－3＝0 B.x－2y＋3＝0 C．2x－y－3＝0 D．2x－y＋3＝0 答案：A 解析：因为()2＋12－6×1＝0，所以点P(，1)在圆x2＋y2－6y＝0上，x2＋y2－6y＝0的圆心为A(0，3)，故kAP＝＝－，设圆x2＋y2－6y＝0在点P(，1)处的切线方程的斜率为k，故k·kAP＝－1，解得k＝，所以圆x2＋y2－6y＝0在点P(，1)处的切线方程为y－1＝(x－)，即x－2y－3＝0.故选A. (2)过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为________________． 答案：y＝4或3x＋4y－13＝0 解析：∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外．当切线l的斜率不存在时，切线l的方程是x＝－1，不满足题意．设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.圆心(2，3)到切线l的距离为＝1，解得k＝0或k＝－，因此，所求切线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0. (3)已知O为坐标原点，点P(0，1)，圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，点Q为圆C上的一动点，则∠POQ的最小值为________． 答案： 解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心为C(2，0)，半径为r＝1(如图)．由图可知，当OQ与圆C相切，且Q位于第一象限时，∠POQ最小，此时sin∠COQ＝＝，即∠COQ＝，所以∠POQ＝，故∠POQ的最小值为. (4)若过直线y＝x＋1上一点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，Q为切点，则|PQ|的最小值为________． 答案： 解析：解法一：如图，连接PC，CQ，则△PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°.设点P(a，a＋1)，则|PQ|2＝|PC|2－|CQ|2＝(a－3)2＋(a＋1)2－1＝2a2－4a＋9＝2(a－1)2＋7≥7(当且仅当a＝1时，等号成立)．所以|PQ|≥，即|PQ|的最小值为. 解法二：如图，连接PC，CQ，则△PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°.则|PQ|2＝|PC|2－|CQ|2，|CQ|2＝1.当|PC|取得最小值时，|PQ|最小，而点P是直线y＝x＋1上的动点，所以当CP垂直于直线y＝x＋1时，|CP|最小，则|CP|min＝＝＝2，|PQ|＝|PC|－|CQ|2＝8－1＝7，即|PQ|min＝. 题型三　直线被圆截得的弦长问题　 例3　(1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，求其中最短的弦长． [解]　由题意可知，过点(3，1)的最短的弦垂直于过点(3，1)的直径，弦心距为＝，则最短的弦长为l＝2＝2. (2)已知直线l：2x－y－1＝0与圆C：x2＋y2－2y－1＝0交于A，B两点，求|AB|. [解]　解法一：已知圆的方程可化为x2＋(y－1)2＝2，其圆心为(0，1)，半径为r＝， 设圆心到直线l的距离为d， 则d＝＝， 所以|AB|＝2＝2＝. 解法二：由方程组 消去y，得5x2－8x＋2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为x1，x2是方程5x2－8x＋2＝0的两根， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 由两点间距离公式，得 |AB|＝ ＝ ＝ ＝× ＝×＝. 【感悟提升】与圆的弦长有关问题的两种解法 (1)几何法：半径r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理d2＋＝r2求解，这是常用解法． (2)代数法：联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解(也可直接利用公式|AB|＝·或|AB|＝·求解)．此解法很繁琐，一般不用． 【跟踪训练】 3．已知圆M：x2＋y2－2x－2y－6＝0，直线l过点P(3，2)且与圆M交于A，B两点． (1)当|AB|最小时，求直线l的方程； (2)当|AB|＝4时，求直线l的方程． 解：(1)圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝8，圆心M(1，1)，半径r＝2， 当直线l与PM垂直时，|AB|最小，直线PM的斜率kPM＝，所以此时直线l的斜率为－2，直线l的方程为y－2＝－2(x－3)，即2x＋y－8＝0. (2)当|AB|＝4时，圆心M(1，1)到直线l的距离为d＝＝2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y－3k＋2＝0， 所以d＝＝2，解得k＝－， 所以直线l的方程为－x－y＋＋2＝0，即3x＋4y－17＝0. 综上所述，当|AB|＝4时，直线l的方程为x＝3或3x＋4y－17＝0. 题型四　直线与圆的综合应用　 例4　已知x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值为________． [解析]　表示圆上的点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率，∴的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由＝1，得k＝，结合图形可知≥，∴的最小值为. [答案]　 【感悟提升】直线与圆综合应用的策略 (1)与圆有关的最值问题，大多与弦、切线、割线和圆心到直线的距离有关，解题时要抓住圆心和半径这两个关键因素． (2)灵活应用垂径定理、勾股定理、切线长定理等几何性质进行解题． (3)与圆有关的实际问题，常常建立平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题进行解决． (4)利用数形结合思想优化解题思路． 【跟踪训练】 4．(1)为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地，它的附近有一条公路，从基地中心O向正东方向走1 km到达储备基地边界上的点A，继续向东走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北方向走8 km到达公路上的点C，现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE(E在公路BC上)，则D到E的最小距离为________km.(　　) A．2 B．4 C．2－1 D．4－1 答案：D 解析：以O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则O(0，0)，A(1，0)，B(8，0)，C(0，8)，则圆O：x2＋y2＝1，直线BC：x＋y－8＝0.∴点O到直线BC的距离d＝＝4，∴D到E的最小距离为d－1＝4－1.故选D. (2)若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是____________． 答案： 解析：圆x2＋y2－4x－4y－10＝0整理为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，∴圆心坐标为(2，2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则圆心到直线的距离应小于等于，即≤，∴＋4＋1≤0.∴－2－≤≤－2＋.又直线l的斜率k＝－，∴2－≤k≤2＋，即直线l的斜率的取值范围是[2－，2＋]．∵tan＝tan＝＝＝＝2－，tan＝tan＝＝＝＝＝2＋，∴直线l的倾斜角的取值范围是. 1．已知直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝9相交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A. B．2 C. D．2 答案：B 解析：圆x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为r＝3，圆心(0，0)到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝，故弦AB的长为2＝2＝2.故选B. 2．直线ax＋y－a＝0(a∈R)与圆x2－4x＋y2＝0的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 答案：B 解析：由ax＋y－a＝0变形得y＝－a(x－1)，所以直线ax＋y－a＝0恒过定点(1，0)，圆x2－4x＋y2＝0可化为(x－2)2＋y2＝4，因为(1－2)2＋02<4，所以点(1，0)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，所以直线ax＋y－a＝0与圆x2－4x＋y2＝0相交．故选B. 3．已知圆O：x2＋y2＝4，过M(1，)作圆O的切线l，则切线l的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为M(1，)在圆O上，则切线只有一条，圆心为(0，0)，所以kOM＝，所以过点M的切线l的斜率为－＝－，设其倾斜角为θ，则tanθ＝－，由于θ∈[0，π)，故θ＝.故选D. 4．过点P(a，5)作圆(x＋2)2＋(y－1)2＝4的切线，切线长为2，则a的值为________． 答案：－2 解析：点P(a，5)与圆心(－2，1)的距离d＝，又圆的半径为2，所以(2)2＋22＝(a＋2)2＋16，解得a＝－2. 5．已知点A(1，a)，B(5，0)，直线y＝2x上不存在点M，使得∠AMB＝90°，则实数a的取值范围是________． 答案：(－8，2) 解析：以线段AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋＝(16＋a2)，圆心C，半径r＝，因为直线y＝2x上不存在点M，使得∠AMB＝90°，所以圆C与直线y＝2x没有交点，则圆心C到直线2x－y＝0的距离d>r，即>，解得－8<a<2，所以实数a的取值范围是(－8，2)． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考点 判断直线与圆的位置关系 已知弦长求圆的方程 求弦长 过圆外一点的圆的两条切线的夹角 直线过定点问题；判断直线与圆的位置关系；求最短弦长 求圆的切线方程 构造斜率公式求代数式的最值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 考点 圆上一点到直线的距离的最值；求切线长 判断直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式 已知直线与圆相切求圆的方程；已知弦长求直线的方程 由直线与圆的位置关系求参数的取值范围 求圆的切线方程 求圆的方程；求圆的切线方程；由直线与圆的位置关系求参数的取值范围 判断直线与圆的位置关系；求两切点所在直线的方程；直线过定点问题 一、选择题 1．已知点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝2内，则直线x0x＋y0y＝2与圆的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 答案：C 解析：因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝2内，则x＋y<2，所以圆心(0，0)到直线x0x＋y0y＝2的距离为d＝>，所以直线与圆相离．故选C. 2．直线3x－4y＋10＝0与以点C(－1，－2)为圆心的圆相交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 B．(x－1)2＋(y－2)2＝25 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5 答案：A 解析：点C(－1，－2)到直线3x－4y＋10＝0的距离为d＝＝3，所以圆C的半径为r＝＝＝5，则圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝25.故选A. 3．如图，已知一艘停在海面上的海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.这艘轮船能被海监船监测到的时长为(　　) A．1 h B．0.75 h C．0.5 h D．0.25 h 答案：C 解析：如图，以O为原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，圆O的方程为x2＋y2＝252，直线AB的方程为＋＝1，即3x＋4y－120＝0，设O到AB的距离为d，则d＝＝24<25，所以这艘轮船能被海监船监测到，设监测时间为t，则t＝＝0.5(h)．故选C. 4．(新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝(　　) A．1 B. C. D. 答案：B 解析：解法一：因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，因为|PC|＝＝2，则|PA|＝＝，可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝，则sin∠APB＝sin2∠APC＝2sin∠APC·cos∠APC＝2××＝，cos∠APB＝cos2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝－＝－<0，即∠APB为钝角，所以sinα＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝.故选B. 解法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接AB，可得|PC|＝＝2，则|PA|＝|PB|＝＝，因为|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cos∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA|·|CB|cos∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－<0，即∠APB为钝角，则cosα＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝，又α为锐角，所以sinα＝＝.故选B. 解法三：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝，若切线斜率不存在，则切线方程为x＝0，则圆心到切线的距离d＝2<r，不符合题意；若切线斜率存在，设切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0，则＝，整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60>0.设两切线的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得|k1－k2|＝＝2，所以tanα＝＝，即＝，可得cosα＝，则sin2α＋cos2α＝sin2α＋＝1，又α∈，则sinα>0，解得sinα＝.故选B. 5．(多选)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：(m＋1)x＋2y－1＋m＝0(m∈R)，则(　　) A．直线l恒过定点(－1，1) B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．直线l与圆C有两个交点 D．当m＝1时，直线l被圆C截得的弦长最短 答案：ACD 解析：对于A，直线l：(m＋1)x＋2y－1＋m＝0(m∈R)，所以m(x＋1)＋x＋2y－1＝0，令解得所以直线l恒过定点(－1，1)，故A正确；对于B，当m＝0时，直线l：x＋2y－1＝0，则圆心C(－2，0)到直线l的距离为d＝＝，2－<1，所以圆C上只有两个点到直线的距离为1，故B错误；对于C，因为直线l过定点(－1，1)，所以(－1＋2)2＋12<4，所以定点在圆C内，则直线l与圆C有两个交点，故C正确；对于D，直线l过定点M(－1，1)，当CM⊥l时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时kCM·＝·＝－1，解得m＝1，故D正确．故选ACD. 二、填空题 6．过点P(3，－2)且与圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0相切的直线的方程为________． 答案：x＝3或3x＋4y－1＝0 解析：将圆C的方程化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，则其圆心为C(1，2)，半径为r＝2.当过点P(3，－2)的直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝3，是圆C的切线，满足题意；当过点P(3，－2)的直线的斜率存在时，可设直线的方程为y＋2＝k(x－3)，即kx－y－3k－2＝0，利用圆心到直线的距离等于半径，得＝2，解得k＝－，即此直线的方程为3x＋4y－1＝0.综上所述，所求直线的方程为x＝3或3x＋4y－1＝0. 7．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则的最小值为________． 答案：－ 解析：记A(2，0)，则为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆x2＋(y－1)2＝1(x>0)相切时，最小．此时设直线AP：y＝k(x－2)，故＝1，解得k＝－或k＝0(舍去)，即kmin＝－. 8．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则点P到直线AB的距离的最大值为________；当∠PBA最大时，|PB|＝________． 答案：＋4　3 解析：由题意可得直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，圆的圆心为(5，5)，半径为4，圆心(5，5)到直线AB的距离为 ＝，所以点P到直线AB的距离的最大值为＋4.如图，当∠PBA最大或最小时，直线PB与圆相切，图中点P的位置满足∠PBA最大的情况，|BM|＝＝，|PM|＝4，所以|PB|＝＝3. 三、解答题 9．已知直线l：mx＋y＋m－1＝0与圆O：x2＋y2＝3. (1)试判断直线l与圆O的位置关系，并说明理由； (2)若直线l与圆O交于A，B两点，分别过点A，B的圆O的切线互相垂直，求m的值． 解：(1)直线l与圆O相交．理由如下： 直线l可化为m(x＋1)＋(y－1)＝0， 由此可知直线l恒过定点P(－1，1)， 由|OP|＝＝＜，知点P恒在圆O内， 所以直线l与圆O相交． (2)设分别过点A，B的圆O的切线交点为D， 所以OA⊥AD，OB⊥BD， AD⊥BD， 又|OA|＝|OB|＝， 所以四边形OADB为正方形， 则点O到直线AB的距离为d＝|OA|＝， 则有＝，解得m＝－2±. 10．已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点． (1)求圆A的方程； (2)当|MN|＝2时，求直线l的方程． 解：(1)设圆A的半径为R， 由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切， ∴R＝＝2. ∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)由|MN|＝2，知点A到直线l的距离为d＝＝＝1. ①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝－2，符合题意； ②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0. 则由d＝＝1，得k＝， ∴直线l：3x－4y＋6＝0. 综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0. 11．已知M，N是圆O：x2＋y2＝8上两点，且|MN|＝4，若直线x－ay＋6＝0上存在点P使得＋＝，则实数a的取值范围为(　　) A.∪ B.∪ C. D. 答案：A 解析：由题意可知，圆O：x2＋y2＝8的圆心为O(0，0)，半径r＝2，设MN的中点为Q，则＋＝2，且＋＝，可得＝2，又因为|MN|＝4，可知△OMN为等腰直角三角形，则|OQ|＝2，可得|OP|＝2|OQ|＝4，故点P的轨迹是以原点O为圆心，4为半径的圆，因为直线x－ay＋6＝0上存在点P使得＋＝，即直线x－ay＋6＝0与圆x2＋y2＝16有交点，即圆心到直线的距离d＝≤4，解得a≥或a≤－.故选A. 12．已知圆C：(x－2m)2＋(y－3m)2＝(m>0)，当m变动时，圆心C恒在一条直线上，则此直线的方程为________；写出一条与圆C恒相切的直线的方程：________． 答案：y＝x　y＝x 解析：当m变动时，圆心C(2m，3m)恒在直线y＝x上，即所求直线的方程为y＝x.显然切线与m有关，故切线斜率存在，设切线方程为y＝kx＋b，所以＝m，所以2mk－3m＋b＝m或2mk－3m＋b＝－m，即m＋b＝0恒成立或m＋b＝0恒成立，所以 即解得或所以与圆C恒相切的直线的方程为y＝x或y＝x(写出其中一条即可)． 13．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A(0，3)，设圆C的半径为1，圆心C(a，b)在直线l：y＝2x－4上． (1)若圆心C也在直线y＝－x＋5上，求圆C的方程； (2)在(1)的条件下，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (3)若圆C上存在点M，使|MA|＝|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围． 解：(1)由解得 ∴圆心C(3，2)， ∵圆C的半径为1， ∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1. (2)由题意知切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0， 由＝1，得k＝0或k＝－， ∴所求圆C的切线方程为y＝3或y＝－x＋3. (3)设M(x，y)，由|MA|＝|MO|， 得＝， 整理得y＝，故点M在直线m：y＝上． ∴点M既在圆C上又在直线m上，即圆C和直线m有公共点， ∴≤1，∴≤a≤. 综上所述，a的取值范围是. 14．如图，已知A，B是圆O：x2＋y2＝4与x轴的交点，P为直线l：x＝4上的动点． (1)判断直线(m＋1)x＋(2m－1)y－3m＝0与圆O的位置关系，并说明理由； (2)过点P作圆O的两条切线，切点分别为E，F，当|OP|·|EF|最小时，求直线EF的方程； (3)PA，PB与圆的另一个交点分别为M，N.求证：直线MN过定点． 解：(1)由直线(m＋1)x＋(2m－1)y－3m＝0，得m(x＋2y－3)＋x－y＝0， 由解得 所以直线(m＋1)x＋(2m－1)y－3m＝0过定点(1，1)， 又因为12＋12＝2<4，所以点(1，1)在圆O：x2＋y2＝4内，所以直线(m＋1)x＋(2m－1)y－3m＝0与圆O相交． (2)因为直线PE，PF为圆O的切线，所以OP⊥EF， 则|OP|·|EF|＝2|OE|·|PE|， 又|PE|＝＝， 所以|OP|·|EF|＝2|OE|·|PE|＝4， 则当|OP|取最小值时，|OP|·|EF|最小， 当OP⊥直线l，即P(4，0)时，|OP|取得最小值，此时切线PE，PF的斜率存在， 可设切线PE的方程为y＝k(x－4)， 即kx－y－4k＝0， 则有＝2，解得k＝±， 所以两条切线方程分别为x－y－4＝0或x＋y－4＝0， 联立解得 即其中一个切点坐标为(1，－)， 同理另一个切点坐标为(1，)， 所以直线EF的方程为x＝1， 即当|OP|·|EF|最小时，直线EF的方程为x＝1. (3)证明：由题意可知，A(－2，0)，B(2，0)， 设P(4，t)，则直线PA的方程为y＝(x＋2)，直线PB的方程为y＝(x－2)， 联立 得x2＋x＋＝0， 则xM－2＝－，即xM＝， 则M，同理N， 当xM≠xN，即≠， 即t2≠12时，直线MN的斜率 kMN＝＝， 则直线MN的方程为 y－＝， 即y＝(x－1)， 所以当t2≠12时，直线MN过定点(1，0)． 又当t2＝12时，xM＝xN＝1，直线MN过点(1，0)． 综上，直线MN过定点(1，0)． 22 学科网（北京）股份有限公司 $$