(练习)课时分层作业14 圆的标准方程-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版2019)

课时分层作业(十四)　圆的标准方程 一、选择题 1．过点A(1，－1)与B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程为(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4 C．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 B　[线段AB的中点为(0,0)，AB的斜率为－1， 所以线段AB的垂直平分线方程为y＝x. 由解得圆心(1,1)． 半径为圆心到点A的距离r＝2， 所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．] 2．已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,1)　　　　 B．(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．{1，－1} A　[由于点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部， 所以点(1,1)到圆心(a，－a)的距离d＜2， 即＜2，整理得－1＜a＜1． 故选A．] 3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1 B　[圆心坐标为，即(2，－1)，半径r＝＝1， 所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1．] 4．已知圆心在x轴上的圆经过A(3,1)，B(1,5)两点，则圆C的方程为(　　) A．(x＋4)2＋y2＝50 B．(x＋4)2＋y2＝25 C．(x－4)2＋y2＝50 D．(x－4)2＋y2＝25 A　[设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－0)2＝r2． 圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则有(3－a)2＋1＝(1－a)2＋25， 解得a＝－4，即圆心C为(－4,0)，则圆的半径r＝|CA|＝＝， 则圆C的方程为(x＋4)2＋y2＝50.] 5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5 C　[直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0. 由得所以C(－1,2)，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5．] 二、填空题 6．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为________． 　[因为圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心为(－1,0)，所以圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为d＝＝.] 7．若点P在圆(x－1)2＋y2＝1上运动，Q(m，－m－1)，则PQ的最小值为________． －1　[由Q(m，－m－1)，设x＝m，y＝－m－1，得y＝－x－1， 即点Q在直线x＋y＋1＝0上，由点P在圆(x－1)2＋y2＝1上运动， 则PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径， 即－1＝－1．] 8．在平面直角坐标系xOy中，以点(2，－3)为圆心且与直线2mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________． (x－2)2＋(y＋3)2＝5　[直线2mx－y－2m－1＝0(m∈R)的方程化成m(2x－2)－(y＋1)＝0. 由得所以直线2mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过定点(1，－1)． 所以当直线与圆相切于定点(1，－1)时，半径最大． 此时半径为. 所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5．] 三、解答题 9．已知圆C过点A(4,7)，B(－3,6)，且圆心C在直线l：2x＋y－5＝0上，求圆C的方程． [解]　法一：设圆心C的坐标为(a，b)，圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 根据题意得， 解得 故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25． 法二：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，因为C∈l，所以2a＋b－5＝0，则b＝5－2a， 所以圆心为C(a,5－2a)． 由圆的定义得|AC|＝|BC|， 即＝. 解得a＝1，从而b＝3，即圆心为C(1,3)，半径r＝|CA|＝＝5． 故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25． 10．求圆＋(y＋1)2＝关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程． [解]　圆＋(y＋1)2＝的圆心为M，半径r＝. 设所求圆的圆心为(m，n)， 因为它与关于直线x－y＋1＝0对称， 所以解得 所以所求圆的圆心坐标为，半径r＝. 所以对称圆的方程是(x＋2)2＋＝. 1．(多选题)若过点(3,1)总可以作两条直线和圆(x－2k)2＋(y－k)2＝k(k>0)相切，则k的值可以是(　　) A．　 B．3 C．－1　　　 D．4 A