(练习)课时分层作业9 坐标法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版2019)

课时分层作业(九)　坐标法 一、选择题 1．在数轴上存在一点P，它到点A(－9)的距离是它到点B(－3)的距离的2倍，则P的坐标为(　　) A．2　　　　　　　 B．－3 C．5 D．3或－5 D　[设所求点P的坐标为x，则|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5，所以P(3)或P(－5)．] 2．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于(　　) A．5 B．－1 C．1 D．－5 D　[易知x＝－3，y＝－2．所以x＋y＝－5．] 3．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则AB边上的中线长为(　　) A． B． C． D． A　[边AB的中点D的坐标为D(－1，－1)，所以|CD|＝＝.] 4．已知A(3,1)，B(2,4)，C(1,5)，且点A关于点B的对称点为D，则|CD|＝(　　) A．2 B．4 C． D． A　[由题意，设D(x，y)，则 所以所以D(1,7)． 所以|CD|＝＝2，故选A．] 5．已知A(x,5)关于C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则P(x，y)到原点的距离为(　　) A．4 B． C． D． D　[由题意知点C是线段AB的中点， 则所以所以|OP|2＝17，所以|OP|＝.] 二、填空题 6．在数轴上从点A(－3)引一线段到B(4)，再延长同样的长度到C，则点C的坐标为________． 11　[因为d(A，B)＝4－(－3)＝7＝d(B，C)＝x－4， 所以x＝11．] 7．在数轴上有一点P，它到以点A(－10)，B(－4)为端点的线段中点的距离为2，则点P的坐标为________． －9或－5　[设点P坐标为x，AB的中点为C，则C点坐标为＝－7，因为d(P，C)＝2，所以|PC|＝|x＋7|＝2，解得x＝－9或x＝－5，故点P的坐标为－9或－5．] 8．在△ABC中，设A(3,7)，B(－2,5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点坐标为________． (2，－7)或(－3，－5)　[设C(a，b)，则AC的中点为，BC的中点为，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，则] 三、解答题 9．已知A(1,2)，B(4，－2)，试问在x轴上能否找到一点P，使∠APB为直角？ [解]　假设在x轴上能找到点P(x,0)，使∠APB为直角，由勾股定理可得 |AP|2＋|BP|2＝|AB|2， 即(x－1)2＋4＋(x－4)2＋4＝25， 化简得x2－5x＝0， 解得x＝0或x＝5． 所以在x轴上存在点P(0,0)或P(5,0)，使∠APB为直角． 10．用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立． [证明]　取长方形ABCD的两条互相垂直的边AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设长方形ABCD的四个顶点为A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)． 在平面上任取一点M(m，n)，则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2， |BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2， 所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2． 1．(多选题)已知数轴上点A，B，C的坐标分别为－1,1,5，则下列结论正确的是(　　) A．的坐标为2　　 B．＝－3 C．的坐标为4 D．＝2 ABD　[易知向量的坐标为1－(－1)＝2，A正确；向量的坐标为－1－5＝－6，－3的坐标为－3×2＝－6，所以＝－3，B正确；向量的坐标为1－5＝－4，C错误；向量的坐标为5－1＝4,2的坐标为2×2＝4，所以＝2，D正确．故选ABD．] 2．(多选题)已知点A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，则(　　) A．△ABC为直角三角形 B．△ABC为等腰三角形 C．线段AB的中点坐标为 D．△ABC中，BC边上的中线长为4 BC　[因为|AB|＝，|AC|＝， |BC|＝3，所以三角形为等腰三角形，不是直角三角形． 由中点坐标公式知线段AB的中点为，线段BC的中点D的坐标为， 故BC边上的中线长|AD|＝.] 3．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(0,0)，则AB边上的中线长CM＝________，△ABC的面积为________． 2　4　[设AB的中点M的坐标为(x，y)，则即M的坐标为(2,2)， 所以|CM|＝＝2， 又|AB|＝＝2， |AC|＝＝，|BC|＝＝. 因为M(2,2)为AB的中点，|CM|＝2， 所以S△ABC＝|CM|·|AB|＝×2×2＝4．] 4．已知直线y＝a与函数f(x)＝3x及g(x)＝2