(练习)课时分层作业8 空间中的距离-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版2019)

课时分层作业(八)　空间中的距离 一、选择题 1．如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是(　　) A．2 B．　　　 C．　　　 D． C　[取AC的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 E，F(0,0,2)，所以＝， EF＝||＝＝.] 2．在平面直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长为(　　) A． B．2 C．3 D．4 B　[过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′(图略)，则||＝3，||＝2，||＝5．又＝＋＋，所以||2＝32＋52＋22＋2×3×2×＝44，即||＝2.] 3．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　) A．1 B． C． D． B　[建立如图所示的空间直角坐标系， A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,4,0)，E(2,2,0)，则＝(－2,0,2)， ＝(0，－4,2)，＝(－2，－2,2)． 设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 令y＝1，则z＝2，x＝2， 所以n＝(2,1,2)，所以d＝＝＝.] 4．如图，正四棱锥P­ABCD的高为2，且底面边长也为2，则点A到平面PBC的距离为(　　) A． B． C． D． A　[由正四棱锥的性质可知，其底面ABCD为正方形，底面对角线的长度为＝2，侧棱长度为＝， 所以S△PBC＝×2×＝， VP­ABC＝××2×2×2＝， 又VA­PBC＝VP­ABC，设点A到平面PBC的距离为h， 所以×h＝，所以h＝.] 5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点E，F分别在A1B，B1D1上，且A1E＝A1B，B1F＝B1D1，则EF与平面ABC1D1的距离为(　　) A．a B．a C．a D．a B　[如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，易得 E，F， 故＝， ＝(a,0,0)，＝(0，a，a)． 设n＝(x，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量， 由⇒ 令z＝1，得n＝(0，－1,1)． 因为·n＝·(0，－1,1)＝0， 所以⊥n，故EF∥平面ABC1D1． 又＝， 所以·n＝·(0，－1,1)＝a， 所以d＝＝a.] 二、填空题 6．已知平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________． 2　[设＝a，＝b，＝c，易得＝a＋b＋c，则||2＝·＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以||＝2.] 7．已知棱长为1的正方体ABCD­EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为________． 　[建立如图所示的空间直角坐标系，则＝(1,0，0)＋(0,1,0)＋(0,0，1)＝. ＝(1,0,0)，·＝， 所以P点到AB的距离为d＝ ＝＝.] 8．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________． 　[建立如图所示的空间直角坐标系， 则A，B(0,1,0)，B1(0，1,1)，C1(0，0,1)，则＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)． 设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)， 则有 解得n＝，则所求距离为＝＝.] 三、解答题 9．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF∥平面EC1D． (1)求BP的长； (2)求点P到平面EC1D的距离． [解]　(1)以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则B(1,0,1)，D(0,2,1)，F(1，1,1)，E(0,1,0)，C1(1,2,0)， 设P(a，b,1)，＝λ，λ∈[0,1]，＝(0,1,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,2,0)， 则＝(a－1，b,0)＝(－λ，2λ，0)， 所以P(1－λ，2λ，1)，＝(λ，1－2λ，0)， 设平面DEC1的法向量n＝(x，y，z)， 则取x＝1，得n＝(1，－1,1)， 因为PF∥平面EC1D， 所以·n＝λ－1＋2λ＝0， 解得λ＝， 所以P， 所以BP的长||＝＝. (2)由(1)得平面DEC1的法向量n＝(1，－1,1)，＝， 所以点P到平面EC1D的距离d＝＝＝. 10．如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点． (1