(练习)课时分层作业5 空间中的平面与空间向量-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版2019)

课时分层作业(五)　空间中的平面与空间向量 一、选择题 1．若平面α与β的法向量分别是a＝(2,4，－3)，b＝(－1,2,2)，则平面α与β的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 B　[a·b＝(2,4，－3)·(－1,2,2)＝－2＋8－6＝0， 所以a⊥b，所以平面α与平面β垂直．] 2．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是(　　) A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1) C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4) A　[设平面α内一点P(x，y，z)， 则：＝(x－1，y＋1，z－2)， 因为n＝(6，－3,6)是平面α的法向量， 所以n⊥，n·＝6(x－1)－3(y＋1)＋6(z－2)＝6x－3y＋6z－21， 所以由n·＝0得6x－3y＋6z－21＝0， 所以2x－y＋2z＝7， 把各选项的坐标数据代入上式验证可知A适合．] 3．设μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量，a＝(－3,4,2)是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是(　　) A．平行或直线在平面内 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 A　[因为μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量， a＝(－3,4,2)是直线l的方向向量， μ·a＝－6＋8－2＝0， 所以直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内．] 4．平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2)，则平面α的法向量可以是(　　) A．(1,0,1) B．(1,0，－1) C．(0,1,1) D．(－1,1,0) D　[因为平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0，0,2)， 所以＝(2,2,0)，＝(0,0,2)， 设平面α的一个法向量n＝(x，y，z)， 则取x＝－1，得n＝(－1,1,0)， 所以平面α的法向量可以是(－1,1,0)．] 二、填空题 5．已知直线l∥平面α，且直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m＝________. －8　[因为直线l∥平面α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，即2×1＋m×＋1×2＝0，所以m＝－8.] 6．在平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的一个法向量，则y＋z＝________. 1　[＝(1,1,0)，＝(－1，－1，－2)， 因为a＝(－1，y，z)为平面ABC的一个法向量， 所以a·＝0，a·＝0， 所以－1＋y＝0,1－y－2z＝0， 联立解得y＝1，z＝0，所以y＋z＝1．] 7．在正三棱锥P­ABC中，BC与PA的位置关系是________． BC⊥PA　[如图，在正三棱锥P­ABC中， P在底面ABC内的射影O为正三角形ABC的中心，连接AO，则AO是PA在底面ABC内的射影，且BC⊥AO，所以BC⊥PA．] 三、解答题 8．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F. 求证：(1)PA∥平面EDB； (2)PB⊥平面EFD． [证明]　建立如图所示的空间直角坐标系． D是坐标原点，设DC＝a. (1)连接AC交BD于G，连接EG， 依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E. 因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为， 所以＝. 又＝(a,0，－a)，所以＝2， 这表明PA∥EG.而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB． (2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)，＝， 所以·＝0＋－＝0，所以⊥，即PB⊥DE. 又已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD． 9．如图所示，已知四棱锥P­ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD．求证：PA⊥BD． [证明]　如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO. 因为PB＝PC，所以PO⊥BC． 又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC， 所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO. 在直角梯形ABCD中， 由于AB＝BC＝2CD， 易知Rt△ABO≌Rt△BCD， 所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD． 由三垂线定理，得PA⊥BD． 1．(多选题)给出下列命题，其中为真命题的是(　　) A．直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量b＝，则l与m垂直 B．直线l的方向向量a＝