(练习)课时分层作业4 空间中的点、直线与空间向量-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版2019)

课时分层作业(四)　空间中的点、直线与空间向量 一、选择题 1．已知点A(2,3,4)，B(1,2,1)，＝3，且O为坐标原点，则C点的坐标为(　　) A．(6,8,9)　　　　 B．(6,9,12) C．(7,11,13) D．(－7，－11，－13) C　[设C(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－1)，＝(2,3,4)，所以3＝(6,9,12)， 由＝3， 得所以所以C(7,11,13)．] 2．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则实数m等于(　　) A．1　 B．2 C．3　　　　 D．4 B　[因为l1⊥l2，所以a⊥b，则a·b＝－2＋6－2m＝4－2m＝0，解得m＝2，故选B．] 3．一质点从(1,1,1)出发，做匀速直线运动，每秒的速度为v＝(1,2,3)，2秒后质点所处的位置为(　　) A．(3,5,7) B．(2,4,6) C．(3,5,8) D．(5,3,7) A　[2秒后质点所处的位置为(1,1,1)＋2v＝(1,1,1)＋2(1,2,3)＝(3,5,7)．故选A．] 4．(多选题)在空间直角坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x,0)，则x的值为(　　) A．－1　 B．0 C．3　　　 D．9 BD　[因为A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)， 所以＝(2,1，－2)，＝(－4，x＋1,1)，＝(－2，x＋2，－1)，分三种情况： ①A为直角，·＝0，所以－4＋x＋2＋2＝0，所以x＝0； ②B为直角，·＝0，所以－8＋x＋1－2＝0，所以x＝9； ③C为直角，·＝0，所以8＋(x＋1)(x＋2)－1＝0，x2＋3x＋9＝0，方程无解． 综上，x的值为0或9．] 5．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于(　　) A． B． C． D． A　[以D为坐标原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则F(1，0,0)，D1(0,0,2)，O(1，1,0)，E(0,2,1)，则＝(－1,1,1)，＝(－1,0,2)， 所以||＝，||＝，·＝3， 所以cos〈，〉＝ ＝＝.] 二、填空题 6．已知点A(1,1，－4)，B(2，－4,2)，C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为________． 　[设C(x，y，z)，＝(x－1，y－1，z＋4)，＝(1，－5,6)， 由＝得 所以所以C.] 7．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则实数y＋z等于________． 0　[由题意，得＝(－1，－2－y，z－3)，则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0.] 8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角为________． 　[以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系， 设正方体的棱长为1，则＝，＝，cos〈，〉＝＝0， 所以〈，〉＝.] 三、解答题 9．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点． 求证：MN∥平面A1BD． [证明]　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 可求得M，N， D(0,0,0)，A1(1,0,1)， 于是＝， ＝(1,0,1)． 所以＝2，所以∥， 所以DA1∥MN. 而MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD， 所以MN∥平面A1BD． 10．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点． (1)求cos〈，〉的值； (2)求证：A1B⊥C1M. [解]　(1)以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， 所以＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)， 所以cos〈，〉＝ ＝＝. (2)证明：A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，M， 所以＝(－1,1，－2)，＝， 所以·＝0， 所以A1B⊥C1M. 1．(多选题)已知空间向量a，b，a⊥b，a＝(1,3,5)，则b的坐标可以是(　　) A．(5,0，－1) B． C．(5，－3，－1) D．(8，－1，－1) ABD　[a＝(1,3,5)，a⊥b，所以a·b＝0. 在A中，