(练习)课时分层作业2 空间向量基本定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版2019)

课时分层作业(二)　空间向量基本定理 一、选择题 1．若a与b不共线且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则(　　) A．m，n，p共线　　　 B．m与p共线 C．n与p共线 D．m，n，p共面 D　[p＝2a＝m＋n，即p可由m，n线性表示，所以m，n，p共面．] 2．在下列条件中使M与A，B，C一定共面的是(　　) A．＝－－ B．＝＋＋ C．＋＋＝0 D．＋＋＋＝0 C　[在C中，由＋＋＝0，得M＝－－，则，，为共面向量，即M，A，B，C四点共面；对于A，由＝－－，其系数和1－1－1＝－1≠1，不能得出M，A，B，C四点共面；对于B，由＝＋＋，其系数和＋＋≠1，所以M，A，B，C四点不共面；对于D，由＋＋＋＝0，得＝－(＋＋)，其系数和不为1，所以M，A，B，C四点不共面．] 3．给出下列命题： ①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底； ②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底； ③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面； ④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是(　　) A．1　 B．2 C．3　　　　 D．4 D　[根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然②正确．③中由，，共面且过相同点B，故A，B，M，N共面． 下面证明①④正确． ①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb， 因为d与c共线，c≠0， 所以存在实数k，使d＝kc， 因为d≠0，所以k≠0，从而c＝a＋b， 所以c与a，b共面与条件矛盾． 所以d与a，b不共面． 同理可证④也是正确的．] 4．已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于(　　) A．＋＋ B．＋＋ C．＋＋ D．＋＋ D　[由条件AF＝EF知，EF＝2AF， 所以AE＝AF＋EF＝3AF， 所以＝＝(＋) ＝(＋) ＝＋(＋)＝＋＋.] 5．若{a，b，c}是空间的一组基底，则下列各组中不能构成空间一组基底的是(　　) A．a,2b,3c B．a＋b，b＋c，c＋a C．a＋2b,2b＋3c,3a－9c D．a＋b＋c，b，c C　[对于A中a,2b,3c，B中a＋b，b＋c，c＋a，D中a＋b＋c，b，c，每组都是不共面的向量，能构成空间的一组基底； 对于C，a＋2b,2b＋3c,3a－9c，满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，是共面向量，不能构成空间的一组基底．] 二、填空题 6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________. 1　－1　[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc， 于是有解得] 7．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________. ＋＋　[＝＋＝＋＝(＋)＋＝＋＋.] 8．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则2x＋4y＋2z＝________. 2　[如图，由已知＝＝(＋) ＝ ＝＋[(－)＋(－)]＝＋＋， 所以x＝y＝z＝，所以2x＋4y＋2z＝2．] 三、解答题 9．如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量： (1)；(2)；(3)；(4). [解]　连接AC，AD′，AC′(图略)． (1)＝(＋) ＝(＋＋) ＝(a＋b＋c)． (2)＝(＋) ＝(＋2＋) ＝a＋b＋c. (3)＝(＋) ＝[(＋＋)＋(＋)] ＝(＋2＋2) ＝a＋b＋c. (4)＝＋ ＝＋(－) ＝＋ ＝＋＋ ＝a＋b＋c. 10．如图所示，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在棱B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1． (1)证明：A，E，C1，F四点共面； (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值． [解]　(1)证明：连接AC1(图略)．因为＝＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋， 所以与，共面， 又三者有公共点A， 所以A，E，C1，F四点共面． (2)因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋， 所以x＝－1，y＝1，z＝， 所以x＋y＋z＝－1＋1＋＝. 1．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F