(练习)课时分层作业1 空间向量及其运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版2019)

课时分层作业(一)　空间向量及其运算 一、选择题 1．下列命题中为真命题的是(　　) A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 A　[对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，当λ＞0时，λa与a同向，当λ＜0时，λa与a反向；对于选项D，向量a与向量b不相等，未必它们的模不相等．] 2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列结论中正确的是(　　) A．＋与＋是一对相等向量 B．－与－是一对相反向量 C．－与－是一对相等向量 D．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量 D　[A中是一对相反向量；B中是一对相等向量；C中是一对相反向量；D中是一对相反向量，故D正确．] 3．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝c，＝b，则可表示为(　　) A．－a＋b＋c　 B．a＋b＋c C．－a－b＋c D．a－b＋c A　[＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c.] 4．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，F，G分别是AD，DC的中点，则·＝(　　) A． B． C． D． B　[由题意可得＝，所以·＝×1×1×cos 60°＝.] 5．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　) A． B． C．－　　　 D．0 D　[如图所示，因为·＝·(－)＝·－·＝|OA|·|·cos∠AOC－|·|OB|·cos∠AOB＝0， 所以⊥，所以〈，〉＝，cos〈，〉＝0.] 二、填空题 6．化简：(a＋2b－3c)＋5＝________. a－b＋c　[原式＝a＋b－c＋a－b＋c＝a－b＋c.] 7．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ＝________. －　[由m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋(λ＋1)a·b＋λ|b|2＝0，得18＋(λ＋1)×3×4×cos 135°＋16λ＝0，解得λ＝－.] 8．已知向量a，b，c两两夹角都是60°，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则|a－2b＋c|＝________. 　[因为|a－2b＋c|2＝a2＋4b2＋c2－4a·b－4b·c＋2a·c ＝1＋4＋1－4×cos 60°－4×cos 60°＋2×cos 60°＝3， 所以|a－2b＋c|＝.] 三、解答题 9．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1．用a，b，c表示以下向量： (1)；(2). [解]　(1)＝(＋) ＝[(＋＋)＋(＋)] ＝(＋2＋2) ＝a＋b＋c. (2)＝＋＝＋(－) ＝＋＋ ＝a＋b＋c. 10．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长． [解]　(1)证明：＝＋，＝＋. 因为BB1⊥平面ABC，所以·＝0，·＝0. 又△ABC为正三角形， 所以〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝. 因为·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋2＋· ＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0， 所以AB1⊥BC1． (2)结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1． 又||＝＝＝||， 所以cos〈，〉＝＝， 所以||＝2，即侧棱长为2． 1．(多选题)已知ABCD­A1B1C1D1为正方体，则下列结论中正确的是(　　) A．(＋＋)2＝32 B．·(－)＝0 C．向量与向量的夹角为60° D．正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为|··| AB　[A中，由⊥，⊥，⊥，得(＋＋)2＝2＋2＋2＝32，故A正确． B中，连接AB1(图略)，则－＝，由于⊥，故B正确． C中，异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但向量夹角为120°，故C不正确． D中，|··|＝0，该正方体的体积应为||·||·||，故D不正确．] 2．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是(　　) A．60° B．120° C．30°　　　 D．90° B　[a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e ＝1－1×1×－2＝－， |a|＝＝＝ ＝＝. |b|＝＝＝＝＝. 所以cos〈a，b〉＝＝＝－， 所以〈a，b〉＝120°.] 3．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________． －13　[因为a＋b