(讲义)第4章 指数函数、对数函数与幂函数 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

类型1　指数、对数的运算问题 解决这类问题首先要熟练掌握指数式和对数式的积、商、幂、方根的运算法则，熟练掌握各种变形．如N＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算． 【例1】　(1)若xlog23＝1，则3x＋9x的值为(　　) A．6　　　　　　　 B．3 C． D． (2)已知2a＝5b＝c，＋＝1，则c＝________． (1)A　(2)10　[(1)由xlog23＝1得x＝log32，所以3x＋9x＝3＋(3)2＝2＋4＝6． (2)由2a＝5b＝c，得a＝log2c，b＝log5c，＋＝＋＝logc2＋logc5＝logc10＝1，所以c＝10．] 类型2　函数图像与性质的应用 指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，熟记性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响． 【例2】　(1)若幂函数f(x)＝x(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则(　　) A．m，n是奇数，且<1 B．m是偶数，n是奇数，且>1 C．m是偶数，n是奇数，且<1 D．m是奇数，n是偶数，且>1 (2)当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(0,1)　　B．(1,2)　　C．(1,2]　　D． (1)C　(2)C　[(1)由图知幂函数f(x)为偶函数，且<1，排除B，D； 当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A；故选C． (2)设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可，当0<a<1时，显然不成立． 当a>1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2． ∴loga2≥1，∴1<a≤2，故选C．] 类型3　数的大小比较问题 比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较． 【例3】　(1)已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　) A．a＞b＞c　　　　 B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a (2)设a＝log2，b＝log3，c＝，则(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c (3)已知0＜a＜1，x＝loga＋loga，y＝loga5，z＝loga－loga，则(　　) A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．z＞x＞y (1)C　(2)D　(3)C　[(1)∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.3＞20＝1,0＜c＝0.30.2＜0.30＝1，∴b＞c＞a．故选C． (2)∵a＝log2＜0，b＝log3＜0，log2＞log3，log3＞log3，c＝＞0．∴b＜a＜c．故选D． (3)依题意，得x＝loga ，y＝loga，z＝loga ．又0＜a＜1，＜＜，因此有loga ＞loga ＞loga ，即y＞x＞z．] 类型4　分类讨论思想 所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图像和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现． 【例4】　已知函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈N)为偶函数，且f(3)<f(5)． (1)求m的值，并确定f(x)的解析式； (2)若g(x)＝loga[f(x)－ax](a>0，且a≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a的取值范围． [思路探究]　(1)结合f(3)<f(5)与函数f(x)的奇偶性，分类讨论确定m的值及f(x)的解析式． (2)由g(x)为增函数，结合a讨论，求出a的取值范围． [解]　(1)由f(3)<f(5)，得3<5， ∴<1＝． ∵y＝为减函数， ∴－2m2＋m＋3>0，解得－1<m<． ∵m∈N，∴m＝0或1． 当m＝0时，f(x)＝x＝x3为奇函数，不合题意； 当m＝1时，f(x)＝x＝x2为偶函数． 综上，m＝1，此时f(x)＝x2． (2)由(1)知，当x∈[2,3]时，g(x)＝loga(x2－ax)． ①当0<a<1