(讲义)5.3.5 随机事件的独立性-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

5.3.5　随机事件的独立性 1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．(难点) 2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．(重点) 3．综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题．(重点、难点) 1．通过学习事件相互独立的概念，体会数学抽象的素养． 2．借助相互独立事件的乘法公式解题，提升数学运算的素养． 3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”． 问题：(1)上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？ (2)互斥事件与相互独立事件有什么区别？ [提示]　(1)因为抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立． (2)两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 知识点1　相互独立事件的定义和性质 (1)定义：设A，B为两个事件，一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与事件B相互独立(简称独立)． 事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率． (2)性质：如果A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． 1．设A与B是相互独立事件，下列命题中正确的有(　　) ①A与B对立；②A与相互独立；③A与B互斥；④与B相互独立；⑤P(AB)＝P(A)·P(B)． A．1个　　　　　 B．2个 C．3个 D．5个 C　[由相互独立事件的性质及概率公式可知②④⑤正确．] 知识点2　n个事件相互独立与独立事件的概率公式 1．n个事件相互独立 对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 2．独立事件的概率公式 (1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)． (2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)． 2．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________． 　[由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，．在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P＝××＝．] 类型1　相互独立事件的判断 【例1】　判断下列各对事件是不是相互独立事件． (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． [思路探究]　由题目可获取以下主要信息：(1)给出各对事件共三组．(2)要求判断各对事件是不是相互独立事件．解答本题可先看两个事件中的一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两个事件是否相互独立． [解]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． (3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}， 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝． 所以P(AB)＝P(A)P(B)， 所以事件A与B相互独立． 判断事件是否相互独立的方法有哪两种？ [提示]　(1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)． (2)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． [跟进训练] 1．(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　) A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面” B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数” D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁” (2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　) A．相互独立但