5.3.5 随机事件的独立性（3大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第二册）

5.3.4 随机事件的独立性 题型一 相互独立事件的判断 1．（23-24高一下·吉林延边·期末）有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（    ） A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 2．（23-24高一下·广东东莞·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的是（    ） A．第一次朝上面的数字是偶数 B．第一次朝上面的数字是1 C．两次朝上面的数字之和是8 D．两次朝上面的数字之和是7 3．（23-24高一下·全国·月考）（多选）连续地掷一枚质地均匀的股子两次，记录每次的点数，记事件为“第一次出现2点”，事件为“第二次的点数小于等于4点”，事件为“两次点数之和为奇数”，事件为“两次点数之和为9"，则下列说法正确的是（    ） A．与不是互斥事件 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 4．（23-24高一下·辽宁辽阳·月考）（多选）甲、乙两社团各有3名男党员、3名女党员，从甲、乙两社团各随机选出1名党员参加宪法知识比赛． 设事件为“从甲社团中选出的是男党员小凡”，事件为“从乙社团中选出的是男党员”，事件为“甲、乙两社团选出的都是男党员”，事件为“从甲、乙两社团中选出的是1名男党员和1名女党员”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与互斥 题型二 相互独立事件的概率 1．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，甲站、乙站预报都错误的概率为 ． 2．（23-24高一下·安徽合肥·期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江杭州·开学考试）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（    ） A．两人都中靶的概率为0.12 B．两人都不中靶的概率为0.42 C．恰有一人中靶的概率为0.46 D．至少一人中靶的概率为0.74 4．（23-24高一上·江西抚州·期末）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为 题型三 求多个相互独立事件的概率 1．（23-24高二上·广东清远·期末）2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州遵义·月考），，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是. (1)求，两人各自闯关成功的概率； (2)求，，三人中恰有两人闯关成功的概率. 4．（23-24高一下·广西崇左·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率. 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽滁州·期末）将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，表示事件“没有出现1点”，表示事件“出现一次1点”，表示事件“两次抛出的点数之和是8”，表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是（    ） A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件是相互独立事件 C．事件与事件是互斥事件 D．事件包含于事件 3．（22-23高一下·甘肃·期末）某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为 ． 4．（23-24高一下·江苏常州·期末）甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求两人在两轮比赛中都答对的概率； (2)求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率； (3)求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率. 5．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. (1)求丙投篮命中的概率； (2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； (3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3.4 随机事件的独立性 题型一 相互独立事件的判断 1．（23-24高一下·吉林延边·期末）有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（    ） A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 【答案】C 【解析】， ， ，，，， ，，，， 对于A，，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误.故选：C. 2．（23-24高一下·广东东莞·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的是（    ） A．第一次朝上面的数字是偶数 B．第一次朝上面的数字是1 C．两次朝上面的数字之和是8 D．两次朝上面的数字之和是7 【答案】D 【解析】抛掷骰子两次，共有个基本事件数， 则， 共18个基本事件，则， 设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故A错误； 设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故B错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是8， 则共5个基本事件，则， 且，则， ，所以C错误； 设事件两次朝上面的数字之和是7，则， 则，且，则， 因为，所以事件与事件相互独立.故选：D 3．（23-24高一下·全国·月考）（多选）连续地掷一枚质地均匀的股子两次，记录每次的点数，记事件为“第一次出现2点”，事件为“第二次的点数小于等于4点”，事件为“两次点数之和为奇数”，事件为“两次点数之和为9"，则下列说法正确的是（    ） A．与不是互斥事件 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】ACD 【解析】如第一次出现点，第二次出现点，此时事件、均发生， 所以与不是互斥事件，故A正确； 依题意，，，， 又，即与相互独立，故C正确； ，即与相互独立，故D正确； ，即与不相互独立，故B错误.故选：ACD 4．（23-24高一下·辽宁辽阳·月考）（多选）甲、乙两社团各有3名男党员、3名女党员，从甲、乙两社团各随机选出1名党员参加宪法知识比赛． 设事件为“从甲社团中选出的是男党员小凡”，事件为“从乙社团中选出的是男党员”，事件为“甲、乙两社团选出的都是男党员”，事件为“从甲、乙两社团中选出的是1名男党员和1名女党员”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与互斥 【答案】ACD 【解析】由题意可得，，，. 因为，所以与相互独立，故A正确； 因为，所以与不相互独立，故B错误； 因为，所以与相互独立，故C正确； 因为，所以与互斥，故D正确.故选：ACD 题型二 相互独立事件的概率 1．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，甲站、乙站预报都错误的概率为 ． 【答案】/ 【解析】根据对立事件的概率求法和独立事件的乘法公式得甲站、乙站预报都错误的概率为： . 故答案为：. 2．（23-24高一下·安徽合肥·期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记甲、乙能破译密码分别为事件， 由题意可知：，可得， 所以这份密码被成功破译的概率为.故选：B. 3．（24-25高二上·浙江杭州·开学考试）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（    ） A．两人都中靶的概率为0.12 B．两人都不中靶的概率为0.42 C．恰有一人中靶的概率为0.46 D．至少一人中靶的概率为0.74 【答案】C 【解析】设甲中靶为事件， 乙中靶为事件， 则两人都中靶的概率为， 两人都不中靶的概率为， 恰有一人中靶的概率为， 至少一人中靶的概率为.故选：C 4．（23-24高一上·江西抚州·期末）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为 【答案】D 【解析】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为， 且，，相互独立， 对于A选项，2个球都是红球的事件为，则有，故A正确； 对于B选项，2个球中恰有1个红球的事件为， 则，故B正确； 对于C选项，至少有1个红球的事件的对立事件是， 则， 所以至少有1个红球的概率为，故C正确； 对于D选项，2个球不都是红球的事件是事件的对立事件， 其概率为，故D不正确．故选：D. 题型三 求多个相互独立事件的概率 1．（23-24高二上·广东清远·期末）2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件， 显然为相互独立事件， 则事件“甲通过三个科目的笔试考核”相当于事件， 所求概率．故选：A． 2．（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为， 则甲最终获胜的概率为 .故选：D. 3．（24-25高二上·贵州遵义·月考），，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是. (1)求，两人各自闯关成功的概率； (2)求，，三人中恰有两人闯关成功的概率. 【答案】(1)，两人各自闯关成功的概率都是；(2) 【解析】（1）记三人各自闯关成功分别为事件， 三人闯关成功与否得相互独立，且满足， 解得，， 所以，两人各自闯关成功的概率都是. （2）设，，三人中恰有两人闯关成功为事件， 则， 所以三人中恰有两人闯关成功的概率为. 4．（23-24高一下·广西崇左·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率. 【答案】(1)和；(2). 【解析】（1）设甲､乙､丙三名同学各自成功解出该道题分别为事件. 因为，所以. 又，所以，即. 又，所以， 即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和. （2）设这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 所以这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为. 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件， 则， 电路不发生故障，即正常工作且，至少有一个正常工作， 、不发生故障即，至少有一个正常工作的概率， 所以整个电路不发生故障的概率为.故选：C. 2．（23-24高一下·安徽滁州·期末）将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，表示事件“没有出现1点”，表示事件“出现一次1点”，表示事件“两次抛出的点数之和是8”，表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是（    ） A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件是相互独立事件 C．事件与事件是互斥事件 D．事件包含于事件 【答案】D 【解析】将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，总共有36种． 表示事件“没有出现1点”，包含 ,共25种. 表示事件“出现一次1点”，包含共10种，则A错误． 表示事件“两次抛出的点数之和是8”，包含，共5种, 表示事件“两次掷出的点数相等”，包含，共6种． 事件与事件不互斥．故C错误． 由上面分析知道包含,5种情况. 且，，， 由于，则事件与事件不是相互独立事件.故B错误． 显然事件包含于事件，故D正确． 综上所得，正确的只有D．故选：D. 3．（22-23高一下·甘肃·期末）某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为 ． 【答案】/0.7 【解析】设掷一枚质地均匀的骰子出现点数为1或2为事件，则， 骰子出现点数为3，4，5，6为事件，则， 甲箱摸出红球为，乙箱摸出红球为，设顾客中奖为事件， 所以，， 所以． 故答案为：． 4．（23-24高一下·江苏常州·期末）甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求两人在两轮比赛中都答对的概率； (2)求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率； (3)求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）依题意，设事件“甲两轮都答对问题”，“乙两轮都答对问题”， 所以. 因为事件相互独立， 所以两人在两轮比赛中都答对的概率为 （2）设事“甲第一轮答对”，“乙第一轮答对”， “甲第二轮答对”，“乙第二轮答对”， “两人在两轮比赛中至少答对3道题”， 则， 由事件的独立性与互斥性， 可得 故两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率为. （3）设事件分别表示甲三轮答对2个，3个题目， 分别表示乙三轮答对2个，3个题目， 则， ， 设事件“两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2”， 则，且分别相互独立， 所以. 所以两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为. 5．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. (1)求丙投篮命中的概率； (2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； (3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设甲投篮命中为事件，乙投篮命中为事件，丙投篮命中为事件， 由题意可知，，，， 则，, 所以丙投篮命中的概率为； （2）甲和乙命中，丙不中为事件， 则， 所以甲和乙命中，丙不中的概率为； （3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件， 则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$