5.3.5 随机事件的独立性-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

M与V相互独立，故A正确：对于B,根据事件特点易 (2)设能辩化出x条鱼苗，则30000=0.8513，所以x 知，事件M是否发生对事件V的发生的概率没有影响， 25539,即30000个鱼卵大约能解化出25539条鱼苗」 故M与N是相互独立事件，故B正确：对于C,由于第 【随堂巩固促应用】 一次摸到球不放回，固此会对第二次摸到球的概率产生 1.BA选项忽略了是从整个班级内抽取，而不是仅从一 影响，因此不是相互独立事件，故C错误：对于D,有两 部分中抽取，误解了前提条件和概率的意义，易知B正 个小城的家庭，考虑男攘、女孩所有可能的情况为（男 确，C,D错误 男)，（男，女），（女，男），（女，女），共有4个样本点，由等 2.C[10,40)包含[10,20)，[20.30)，[30.40)三部分，所 以数据在[10,40)的频数n,=13+24+15=52,由 可能性知概率各为子，易知P(M=方P(N)=是， 上.(A)-可得频率为0.52，故选C PMN)=PM=名，所以P(MN)≠P(M)P(N.所 3.B由概率的意义可知抽出的6件产品中可能有5件正 以事件M与N不相互独立，故D错误.故选AB. 品，1件次品 探究二 120设总体中的个作数为，测9立所以=120， [例2][解]记“第一、二、三枚骰子出现1点或6点”分 别为事件A,B,C,由已知A,B,C是相互独立事件，且 5.3.5 随机事件的独立性 P(A)-P(B)-P(C)-. 【自主学习探新知】 (1没有一救骰子出现1点或6点，也就是事件A.B,C 知识点 全不发生，即事件ABC,所以所求概率为 1.P(AB)=P(A)P(B) PaBC-P(XP)XPO-号×号X号-品 2.A B (2)恰好有一枚最子出现1点或6点，即A,B,C恰有 微判断 个发生，用符号表示为事件AC+AC十ABC,所求概率 (1)V(2)√(3)/(4)V 微思考 P(ABC-+ABC+ABC)=P(ARC)+P(ARC)+P(ABC) =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) [提示]都相互独立，不可能事件的发生对任何一个事 件的发生没有影响，必然事件的发生对任何一个事件的 发生也没有影响 跟踪训练 【互动探究解疑难】 2.解记A表示事件“搓入商场的1位顾客购买甲种商 探究一 品”，则P(A)=0.5: [例1][解析](I)对于选项A,事件M发生与否与N 记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则 无关，同时，事件V发生与否与M无关，则事件M与事 P(B)=0.6: 件N是相互独立事件：对于选项B,袋中有3白，2黑共 记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都 5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第 购买”； 一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”，则事件M 记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲，乙两种商 发生与否与V无关，同时，事件N发生与否与M无关， 品中的一种” 则事件M与事件N是相互独立事件：对于选项C,袋 (1)易知C=AB,则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5 中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸 ×0.6=0.3. 两球，事件M”第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到 (2)易知D=(AB)U(AB), 黑球”，则事件M发生与否和事件N有关，故事件M 则P(D)=P(AB)+P(AB) 和事件N与不是相互独立事件：对于选项D,甲组3名 =P(A)P(B)+P(A)P(B) 男生，2名女生：乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两 -0.5×0.4+0.5×0.6=0.5. 组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选 探究三 出1名男生”，事件V“从乙组中选出1名女生”，则事 例3][解](1)方法一：接种两次的情况下接种成功， 件M发生与否与N无关，同时，事件V发生与否与M 可能会出现“第一次接种成功、第二次接种不成功”“第 无关，则事件M与事件N是相互独立事件. 一次接种不成功、第二次接种成功”“两次都接种成功” (2P(P)=,P(乙)=，P(丙)=P(T)= 6 3种情况. 则其概率P=0.9×0.1十0.1×0.9十0.9×0.9=0.99 合P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙).P(甲T)=裙-P(甲) =99%, .此人可以接种成功的概率为99%. P(T),P(乙丙)=G≠P(乙)P(丙).P(丙T)=0≠ 方法二：接种两次的情况下接种成功，可以转化为“1 P(丁)P(丙).故选B 两次接种都不成功的概率”，因此所求概率P=1一0.1 [答案(1)ABD(2)B ×0.1=0.99=99%, 跟踪训练 ,,此人可以接种成功的概率为99%」 .AB对于A.P(M)=豆=P(N)=器= (2)由(1)可得，接种该款疫苗可以接种成功的概率为 99%,未接种成功的概率为1%， PMN)-最-0PMnP(N)=P(MN,国光事件 .100000×1%=1000(人)，则有1000人需要进行第 二轮注射， 24 .2×(10+0.1)=20.2(万支)， “超能队”"五轮成绩的平均数为 ∴.估计理想情况下该国需要从我国一共购买20.2万支 疫苗 云=号(93+96+97+94+90)=94. 跟踪训练 方差为=(-1)+2+3+0+(-40门=6. 3.解分别记这段时间内开关J、,J。,J能够闭合为事件 A.B.C. ②评价：从方差数据来看，”超能队”的现场有奖知识竟 由题意知这段时间内3个开美是否能够闭合相互之间 赛成绩更稳定 没有影响， 跟踪训练 根据相互独立事件概率的乘法公式，得这段时间内3个 1.解(1)从7月至11月中任选两个月份，记为(a,b),所 开关都不能闭合的概率是 有可能的结果为(7,8)，(7,9)，(7,10)，(7,11)，(8,9)， P(ABC)=P(A)P(B)P(C) (8,10),(8,11),(9,10),(9,11),(10,11),共10种 =[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)] 情况， =(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)=0.027. 记事件A为“至少有一个月份这两年该品牌国产SUV 所以在这段时间内线路正常工作的概率是1一P(ABC) 销量相同”，期有(7,8)，(7,11)，(8,9)，(8,10)，(8,11)， =1-0.027=0.973. (9,11),(10,11),共7种情况， 【随堂巩固促应用】 P(A)=品即重少有一个月份这两年孩品牌国产 LA分别抛掷两面均匀的硬币，设事件A=“第一枚正 面朝上”，B=“第二枚反面朝上”，则P(A)= 2,P(B) SUV销量相同的概单为品 (2)2017年销售数据平均数为 =号PAB)=号×号-子所以PAB)=PAPB 五=28+89+3,5+4.4+5.4-4 所以事件A与B相互独立. 2.C设甲外出旅游为事件A,乙外出旅游为事件B,事件 方差m=号×[2.8-40产+(8.9-4产+8.5-4+ “甲、乙两位同学恰有一人外出旅游“为AB十AB,由题 (4.4-4)2+(5.4-4)月=0.764. 意P(A)=号，P(B)=是，所以P(AB+不B) 2018年销售数据平均数为 P)PB)+P)PB)=号×(-)+(-号)X 无4a4=3.8+3.9+4.5+4.9+5.4=4.5… 5 35 方差m=号×[8.8-4.5+(8,9-4.5+(4.5- 412 4.5)+(4.9-4.5)2+(5.4-4.5)2]=0.364 3.C设事件A:“第一次就得到合格零件”，设事件B: ”sm<,2018年的销售童更稳定. “第一次得到不合格零件，进行一次技术精加工后得到 探究二 合格零件”，所以P(A)=0.7,P(B)=(1一0.7)X0.3= [例2][解](1)由题意知，所有由1,2,3.4,5,6组成的 0.09,所以生产时得到合格零件的概率是P(A)十P(B) “三位递增数”共有20个， =0.7+0.09=0.79. 分别是123,124,125,126,134,135,136,145,146,156， .B继下去，甲减的概率为号十×=是，乙 234,235,236,245,246,256,345,346,356,456. (2)不公平.由(1)知，所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位 高得能率为2×日日，所以甲30法本，乙10法年 递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A,记“乙 参加数学竞赛”为事件B.则事件A包含的基本事件有 5.4 统计与概率的应用 124,134,234,126,136,146,156,236,246,256,346, 356,456,共13个 【自主学习探新知】 微判断 由古共抚型计第公式，得PCA）是 (1)√(2)√(3)×(4)X 【互动探究解疑难】 又A与B对立，所以P)=1-PA)=1-品-品所 探究一 以P(A)>P(B).故选取规则对甲、乙两名学生不公平 [例1][解](1)由频率分布直方图可知(a十0.05+ 跟踪训练 0.04十2×0.02+0.01)×5=1，解得a=0.06: 2.解把卡片六个面的颜色记为G,G2,G,B,B2,B,其 参与滨活动的市民单次挽战得分的平均值的平均成绩 中，G表示绿色，B表示蓝色：G,和B,是两面颜色不一 为x=72.5×0.05+77.5×0.1+82.5×0.2+87.5× 样的那张卡片的颜色 0.3十92.5×0.25十97.5×0.1=87（分）. 游戏所有的结果可以用如图表示， (2)由(1)知x=87,区间(70，x+2x)=(70,95), 上的面 C Cz C B B2 B3 而96任(70，x十2x),故此人获得一等奖. (3)①“光速队”五轮成绩的平均数为 朝下的面 五=专（93+98+91+95+90)=94， 不难看出，此时，样本空间中共有6个样本，点，朝上的面 与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙羸的概 方差为=号(-0+4+0+1+(-4)门=6,8. 率为号-子因此，这个游戏不公羊 25高中数学·必修第二册(RJB) 2.一个容量为100的样本，其数据的分组与各： B.抽出的6件产品中可能有5件正品，1件 组的频数如下： 次品 组别[0,10)[10,20)20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70] C.抽取6件产品时，逐个不放回地抽取，前 5件是正品，第6件必是次品 频数12 13 24 16 13 D.抽取6件产品时，不可能抽得5件正品， 则样本数据落在[10,40)上的频率为 ( 1件次品 A.0.13 B.0.39 4.一个总体分为A,B两层，用分层抽样方法从 C.0.52 D.0.64 总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层 3.从12件同类产品中（其中10件正品，2件次 品)，任意抽取6件产品，下列说法中正确 中每个个体被抽到的概率都为2，则总体中 的是 的个体数为 A.抽出的6件产品必有5件正品，1件次品 提示请完成《素能提升训练》训练二十二 5.3.5 随机事件的独立性 [学习任务 1.理解相互独立事件的定义及意义， 2.理解相互独立事件的充要条件， 3.掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题， 自主学习探新知 保前预习双基落实 知识点相互独立事件的概念与性质 (2)必然事件与任何一个事件相互独立.() 1.定义：设A,B为两个事件，当 (3)“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A,B相 时，就称事件A与B相互独立（简称独立）. 互独立”的充要条件. () 2.性质：当事件A,B相互独立时， 与 (4)如果两个事件相互独立，则它们的对立事 B,A与 ,A与B也相互独立。 件也相互独立. 3.n个事件相互独立 这微思考 对于1个事件“A1,A2,…,An相互独立” [思考]不可能事件与任何一个事件相互独 的充要条件是“其中任意有限个事件同时发 立吗？ 生的概率都等于它们各自发生的概率之积” 4.独立事件的概率公式 (1)若事件A,B相互独立，则P(AB)= P(A)P(B): (2)若事件A1,A2,…,A。相互独立，则 P(AA2…An)=P(A1)P(A2)…P(A.). 这微判断 判断正误（正确的画“√”，错误的画“X”). (1)不可能事件与任何一个事件相互独立. 66 第五章统计与概率。 互动探究解疑难 要点归纳重滩突骇 探究一 相互独立事件的判断 B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球， [例1门(1)（多选）下列各对事件中，互为相互 依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸 独立事件的是 ( 到黑球”，事件N“第二次摸到黑球” A掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”： C.袋中有3红、3黑共6个大小相同的小球 事件N“出现3点或6点” 依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸 B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球， 到红球”，事件N“第二次摸到黑球” 依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸 D.一个家庭有两个小孩，假定生男孩和生女 到白球”，事件N“第二次摸到白球” 孩是等可能的，事件M“一家庭中既有男 C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球， 孩又有女孩”，事件N“一个家庭中最多有 依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸 一个女孩” 到白球”，事件N“第二次摸到黑球” 探究二相互独立事件的概率 D.甲组3名男生，2名女生：乙组2名男生，：[例2]掷三枚骰子，试求： 3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学 (1)没有一枚骰子出现1点或6点的概率； 参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名 (2)恰好有一枚骰子出现1点或6点的概率。 男生”，事件“从乙组中选出1名女生” (2)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3， 4,5,6,从中有放回地随机取两次，每次取 1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字 是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字 是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之 和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字 之和是7”，则 ( A.甲与丙相互独立 川规律方法川 B.甲与丁相互独立 1.公式P(AB)=P(A)P(B)可以推广到一般情 形：如果事件A,,A,…,A相互独立，那么这H个事 C.乙与丙相互独立 件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即 D.丙与丁相互独立 P(AA…A)=P(A)P(A)…P(A). 2.用相互独立事件的乘法公式解题的步骤： 川规律方法川 (1)用恰当的字母表示题中有关事件： 判断两事件是否具有独立性的方法 (2)根据题设条件，分析事件间的关系： (1)直观法：利用事件所包含基本事件直接判箭 两个事件的发生是否相互影响。 (3)符需要计算概率的事件表示为所设事件的乘 积或若干个事件的乘积之和（相互乘积的事件之间必 (2)公式法：检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立， 须满足相互独立)： (4)利用来法公式计算概率， 跟踪训练 1.(多选)下列各对事件中，为相互独立事件： 口跟踪训练 的有 )2.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的 A.从一副无大小王的扑克牌(52张)中任 概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且 抽一张，事件M“抽到K”,事件N“抽 购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各 到红牌” 顾客之间购买商品也是相互独立的.求： 67 高中数学·必修第二册(RJB) (1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都： 川规律方法川 购买的概率； 解决此类问愿的关健是弄清相互独立的事件，还 (2)进人商场的1位顾客购买甲、乙两种商品 要注意互斥事件的拆分以及对立事件祝率的求法的 运用，即三个公式的联用：P(A十B)=P(A)十P(B) 中的一种的概率。 (A.B互斥)，P(A)=1-P(A).P(AB)=P(A)P(B) (A,B相五独立). 跟踪训练 3.在一段线路中并联着3个 自动控制的常开开关，只要 其中有1个开关能够闭合， 线路就能正常工作，假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7， 计算在这段时间内线路正常工作的概率. 探究三相互独立事件的应用 [例3]2020年新冠肺炎疫情肆虑全球，各个 国家都翘首以盼疫苗上市，现在全球已经有 多款疫苗上市，并且陆续在各个国家开始接 种.如今我国有一款疫苗，经过三期临床试验 以后，估计该款疫苗每次接种的有效率可达 90%,并且已经陆续接到其他国家的订单.现 已知该款疫苗需要接种两次，假设前后两次 接种互不影响. (1)某人接种了我国的这款疫苗，则其可以接 种成功的概率为多少？ (2)已知某国家已经有意向与我国签订疫苗 订单，买疫苗之后免费为本国首批10万人注 射.但是由于部分人可能在两次注射疫苗之 后未接种成功，所以该国决定购买一批预备 疫苗为之后没有接种成功的人进行第二轮注 射，第二轮注射仍为注射两次.根据以上信 息，估计理想情况下该国需要从我国一共购 买多少支疫苗？ 68 第五章统计与概率。 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.抛掷两枚质地均匀的硬币，设A=“第一枚正 能成为废品，则生产时得到合格零件的概 面朝上”，B=“第二枚反面朝上”，则事件A 率是 ( 与事件B ( A.0.49 B.0.73 A,相互独立 B.互为对立事件 C.0.79 D.0.91 C.互斥 D.相等 4.在17世纪，有两个赌徒向法国数学家布莱 2.暑假期间，甲同学外出旅游的概率是子，乙同 尔·帕斯卡提出了这样一个问题：他们二人 赌博，采用五局三胜制，赌资为400法郎.赌 学外出旅游的概率是，假定甲、乙两人的行 了三局后，甲羸了2局，乙赢了1局，时间很 动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位 晚了，他们都不想再赌下去了，但是他们期望 同学恰有一人外出旅游的概率是 获得部分赌资，数学期望这个词由此而生，假 设每局两赌徒获胜的概率相等，每局输赢相 A吉 B 互独立，那么这400法郎比较合理的分配方 Ca n号 案是 A.甲200法郎，乙200法郎 3.某工厂生产一批医疗器械的零件，每件零件 B.甲300法郎，乙100法郎 生产成型后，得到合格零件的概率为0.7，得 C.甲250法郎，乙150法郎 到的不合格零件可以进行一次技术精加工， D.甲350法郎，乙50法郎 技术精加工后得到合格零件的概率是0,3， 提示请完成《素能提升训练》训练二十三 而此时得到的不合格零件将不能再加工，只 5.4 统计与概率的应用 [学习任务] 利用统计和概率的知识解决日常生活和其他学科中的一些难题. 自主学习探新知 课前猴习双基落实 知识点统计与概率的应用 子中随机取出一个球，得到的是有标记的球 1.用样本频率估计总体容量 的概率可以估计为号 模拟方法：已知一个盒子里装有若干个 小玻璃球，在不容许将玻璃球一一拿出来数 另外，如果设盒子中原有的玻璃球个数 的情况下，可以这样来估计出盒子里小玻璃 为x,则从搅拌后的盒子中随机取出一个球， 球的个数：再往盒子里放人m个带有标记的 玻璃球，充分搅拌盒子里的玻璃球之后，从盒 得到的是有标记的球的概率为，m由 子里取出n个玻璃球，数出其中带有标记的 球的个数，记为飞.由此可知，从搅拌后的盒 n≈，可得m(-1小 x十mn 69