5.3.2 事件之间的关系与运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

探究二 微思考 [例2] [解](1)条件:从袋中任取1球,样本空间:《红, [提示]①看是否是互斥事件,②看两个事件是否必有 白,黄,黑: 一个发生,若满足这两个条件,则是对立事件;否则 (2)条件;从袋中任取2球,若记(红,白)表示一次试验 不是. 中,取出的是红球与白球,则样本空间:((红,白),(红, 【互动探究解疑难】 黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)》。 探究一 跟踪训练 [例1] [解] 从3名男生和2名女生中任选2人有如下 2.解 (1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币 一次”,试验的样本空间:(正,反),(正,正),(反,反), 三种结果;2名男生,2名女生,1男1女。 (反,正). (1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不 (2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素”,试 能同时发生,它们是互斥事件:但是当选取的结果是2 验的样本空间;(a,b,c),(a,b,d).(a,c,d),(b,c,d)). 名女生时,这两事件都不发生,所以它们不是对立事件 探究三 (2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种纣 [例3][解](1)这个试验的样本空间为2一(正,正, 果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互 正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正, 斥事件。 正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)) (3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生 (2)由(1)知,这个试验的基本事件总数是8. 所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对 (3)“恰有两枚硬币正面向上”包含以下3个基本事件: 立事件。 (正,正,反),(正,反,正),(反,正,正). (4)“至少有1名女生”包括]男1女与2名女生两种结 跟踪训练 果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少 3.解 A,B两个元件中每个元件都有正常(用1表示)或 有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件. 失效(用0表示)两种可能结果。 跟踪训练 (1)故该试验的样本空间可以表示为0一((0,0), 1.解 依据互斥事件的定义,即事件A与事件B在一次 (0.1).(1.0).(1.1. 试验中不会同时发生可知: (2)对串联电路,只有当A,B都正常时电路才是通路, (1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发 故M包含的样本点为(1,1). 生,因此它们是互斥事件,又因为它们的和事件不是必 (3)对并联电路,只有当A,B都失效时电路才是断路, 然事件,所以它们不是对立事件; 故N包含的样本点为(0,0). 同理可以判断(2)中的2个事件不是互斥事件,从而也 【随堂巩固促应用】 不是对立事件;(3)中的2个事件不是互斥事件,从而也 1.D一年有12个月,因此无论是10人、11人还是12 不是对立事件, 人,都有可能所有人都不在同一个月出生,而由13 探究二 12.所以13人中至少有2人在同一月份出生,为必然事 [例2] [解] (1)对于事件D,可能的结果为1个红球2 件,故选D. 个白球或2个红球1个白球,故D一AUB. 2.C 由题知所有的样本点是(男,男),(男,女),(女,男), (女,女). (2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个 红球1个白球,3个红球,故COA一A. 3.CD 根据随机现象的概念可知,A,B是随机现象,C.D 跟踪练 是确定性现象,故选CD. 2.解(1)按照定义有A十B. 4.(0.2,4,6,8最少需要取3次,最多需要取7次,那么 剩余鸡的只数最多4只,最少0只,所以剩余动物的脚 (2)因为B不发生可以表示为B,因此可以写成AB. 数可能是8,6,4,2,0. (3)按照定义有AB. 探究三 5.3.2 事件之间的关系与运算 [例3] [解] 设小王的成绩在90分以上(含90分)、在 【自主学习探新知】 80~89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A,B. 知识点一 C.且A,B,C两两互斥. (3)< 1.(2)充分条件 必要条件 (1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D,则 2.(1)一定 也一定 (4)一 (③)充要条件 D-A+B,所以P(D)-P(A+B)-P(A)+P(B)- 微思考 0.18+0.51-0.69. [提示] 因为1为奇数,所以ACB (2)设小王数学考试及格为事件E,由于事件E与事件 知识点二 C为对立事件,所以P(E)-1-P(C)-1-0.07 1.(1)所有 至少有一个(2)<< 0.93. 2.(1)公共 都(2)< 跟踪训练 微判断 3.解 (1).每1000张奖卷中设特等奖1个,一等奖10 (1x (2)X (3)×(4) 个,二等奖50个, 知识点三 .P(A)-1o00P(B)-100-100 1 101 1.(1)同时发生(2)P(A)十P(B)(3)P(A.)十P(A) 士..十P(A.) 2.(1)不属于A 相互对立(2)1 21 (2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D,则 黄).(黄,红),(红,黑),(黑,红),(白,黄),(黄,白) P(D)=P(A)+P(B)+P(C) (白,黑),(黑,白),(黄:黑),(黑,黄),样本点的个数 11161 -1000 100201000 是12. 跟踪练 (3)设“抽取1张奖卷不中特等奖或一等奖”为事件E; 1.A 把所取的数a,么写成数对(a,)的形式,则样本点有 则P(E)-1-P(A)-P(B)=1-100 100 1000 11 989 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2).(2,3).(3,1), (3,2).(3,3),(4,1),(4,2),(4.3),(5,1),(5,2). 【随堂巩固促应用】 (5.3),其中满足ba的有(1,2),(1,3),(2,3)共3个。 1.B 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品, 2.25 从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取 共9种结果,故它的对立事件为含有1或0件次品,即 1张的情况如图: 至多有1件次品, 第一张 2.B 由题意,事件A表示出现的点数是1或2或3;事件 第二 B表示出现的点数是1或3或5.故AOB一出现的点 数为1或3). 基本事件总数为25. 3.10 探究二 由于事件“中国队夺得女子兵兵球单打冠军”包括 [例2] [解] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4; 事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可 2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题,样本空间为0 能同时发生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法 ((1,2).(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5). (2,6).(3,4),(3,5),(3,6),(4,5).(4,6).(5,6)),共15 个样本点,而且这些样本点的出现是等可能的. 1- 用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件,则A一 ((1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)),共6个样 4.0.20 设射手“命中圆面I”为事件A,“命中圆环II”为 事件B,“命中园环II”为事件C.“不中靴”为事件D,则 A.B.C互斥,故射手中靴概率为P(AUBUC)一P(A) (2)由(1)知任取2道题的样本点共有15个,用B表示 +P(B)+P(C)-0.15+0.20+0.45-0.80.因为中轮 “所取的2道题不是同一类题”这一事件,则B一((1,5). 和不中犯是对立事件,故不中纪的概率为P(D)一1- (1,6).(2,5).(2.6),(3,5).(3,6),(4,5),(4,6)),共 P(AUBUC)-1-0.80-0.20. 8个样本点,所以P(B)-5 8 5.3.3 古典概型 跟踪训练 【自主学习探新知】 3.C 从6张卡片中无放回抽取2张,共有(1,2),(1,3). 知识点一 (1,4).(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3 微判断 4).(3,5),(3,6),(4,5).(4,6).(5,6)15种情况,其中数 (1) (2 (③X (4)× 字之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4, 知识点二 微思考 [提示] 4.D 设三名同学分别为甲、乙、丙,暑名的明信片分别记 作A,B.C,则试验的样本空间为2-ABC,ACB. 不同点 相同点 BAC,BCA,CAB,CBA),共6个样本点,其中恰有一位 频率计算中的n,n均随随机试 同学拿到自己暑名的明信片的可能情况有ACB,BAC 验的变化而变化,但随着试验次 CBA三种,所以“恰有一位同学拿到自己署名的明信 频率 数的增多,它们的比值逐渐趋近 都计算 于概率值 了一个 探究三 比值 [例3] [解] (1)从8人中选出日语、语和韩语志愿者 古典概 各1名,其一切可能的结果组成的样本空间2一((A. 型的概率 件而言,m,n都不会变化 B..C).(A.B,C).(A.B,C ).(A.B,C).(A. B..C.).(A.B.C).(A,B.C ).(A,B.C).(A, 【互动探究解疑难】 B. C ).(A,B..C.).(A,B,C).(A,B,C).(A. 探究一 B..C ).(A .B.C).(A.B.C ).(A.B.C).(A. [例1][解](1)这个试验的样本空间为《(红),(白), B..C.).(A,B,C))由18个样本点组成.由于每一个 (黄),(黑)),样本点的个数是4. 样本点被抽取的机会均等,因此这些样本点的发生是等 (2)一次取两球,如记(红,白)代表一次取出红球、白球 可能的. 两个球,则本试验的样本空间为((红,白),(红,黄), 用M表示“A恰被选中”这一事件,则M一(A,B (红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)),样本点的个数 C.).(A.B,C).(A,B.C).(A,B,C).(A.B 是6. ##_ C.).(A,B,C)).事件M有6个样本点组成,因而 (3)先后取两球,如记(红,白)代表先取一红球,后取一 白球,则本试验的样本空间为(红,白),(白,红),(红, 2第五章统计与概率。 随堂巩固促应用 验证反馈证移运用 1.下列事件中，必然事件是 ):3.(多选)以下现象不是随机现象的是() A.10人中至少有2人生日在同一个月 A.在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两 B.11人中至少有2人生日在同一个月 次，正反两面都出现 C.12人中至少有2人生日在同一个月 B.明天下雨 D.13人中至少有2人生日在同一个月 C.同种电荷相互排斥 2.一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别 D.平面四边形的内角和是360 写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所 4.笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直 有的样本点有 到3只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则 A(男，女)，（男，男），（女，女） 该试验的样本空间2= B.(男，女)，（女，男） C.(男，男)，（男，女），（女，男），（女，女） 提示请完成《素能提升训练》训练十九 D.(男，男)，（女，女） 5.3.2 事件之间的关系与运算 [学习任务] 1.了解事件的包含与相等的含义及概率关系。 2.理解事件和（并）、积（交）运算的含义及其概率关系. 3.理解事件的互斥与对立关系，掌握互斥事件的概率加法公式. 4.会进行事件的混合运算. 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一事件的包含与相等 :2.事件相等（关系）及其概率关系 1.事件的包含（关系）及其概率关系 (1)如果事件A发生时，事件B 发 生：而且事件B发生时，事件A 发 (1)一般地，如果事件A发 生，则称“A与B相等”，记作A=B. 生时，事件B一定发生，则 (2)A=B台ACB且B≤A. 称“A包含于B”(或“B包 (3)A=B也可用充分必要的语言表述为：A 含A”),记作ACB(或B旦 发生是B发生的 A),这一关系可用右图表示。 (4)概率关系：当A一B时，应该有P(A) (2)A二B也可用充分必要的语言表述为：A P(B). 发生是B发生的 ,B发生是A: 这微思考 发生的 [思考]在掷骰子的试验中，事件A=(出现 (3)概率关系：如果A二B,根据定义可知，事 的点数为1}，事件B={出现的点数为奇数}， 件A发生的可能性不比事件B发生的可能 A与B应有怎样的关系？ 性大，直观上我们就能得到P(A) P(B). 57 高中数学·必修第二册(RJB) 知识点二事件的运算 ,则称A与B互斥，记作AB=☑ 1.事件的和（并） (或A∩B=☑)，这一关系可用下图表示 (1)给定事件A,B,由 A中的样本点 与B中的样本点组成的事件称为A与B的 和（或并），记作A十B(或AUB). 事件A与B的和可以 (2)当A与B互斥（即AB=0)时，有P(A十 用如图所示的阴影部分 B)= ,这称为互斥事件的概率 表示. 加法公式。 按照定义可知，事件A (3)一般地，如果A1,A2,…,A。是两两互斥 十B发生时，当且仅当事件A与事件B中 的事件，则P(A十A2十…十A)= 发生.显然A三(A十B)且 BC(A+B). 2.对立事件 (2)概率关系：P(A) P(A+B)且 (1)给定样本空间2与事件A,则由2中所 P(B) P(A十B),而且，直观上可知 有 的样本点组成的事件称为A P(A十B)与P(A)+P(B)的大小关系为 的对立事件，记作A,用集合的观点来看，A P(A+B) P(A)+P(B). 是A在2中的补集，如图所示.如果B=A, 2.事件的积（交） 则称A与B (1)给定事件A,B,由A与B中的 样本点组成的事件称为A与B的积（或交）， 记作AB(或A∩B): 事件A与B的积可以 用如图所示的阴影部分 (2)对立事件概率：P(A)+P(A)= 表示. 赵微思考 按照定义可知，事件 [思考] 判断两个事件是对立事件的条件是 AB发生时，当且仅当事件A与事件B 什么？ 发生.显然AB二A且AB二B. (2)概率关系：P(AB) P(A), P(AB) P(B). 岂微判断 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. (1)若P(A)≤P(B),则A二B ( (2)若P(A)=P(B),则A=B. (3)P(A+B)=P(A)+P(B). ( 知识点四事件的混合运算 (4)P(AB)≤P(A)P(B). ( 事件的三种运算：求两个事件的和，求两个 知识点三事件的互斥与对立 事件的积，求一个事件的对立事件.因为事件运 1.互斥事件 算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合 (1)给定事件A,B,若事件A与B不能 运算，求积运算的优先级高于求和运算 58 第五章统计与概率 互动探究解疑难 要点归纳重避突骇 探究一 事件关系的判断 (3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”. [例1门某小组有3名男生和2名女生，从中任 选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事 件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不 是对立事件： (1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”： (2)“至少有1名男生”与“全是男生”： (3)“至少有1名男生”与“全是女生”： (4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生” 探究二事件的运算 [例2]盒子里有6个红球，4个白球，现从中 任取3个球，设事件A={3个球中有1个红 球，2个白球}，事件B={3个球中有2个红 球，1个白球}，事件C={3个球中至少有1 个红球}，事件D={3个球中既有红球又有 白球.问： (1)事件D与A,B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？ 川规律方法川 互斥事件，对立事件的判定方法 (1)利用基本概念 ①D互斥事件不可能同时发坐： ②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要 发生， (2)利用集合的观点米判断 设事件A与B所含的结果组成的集合分别是 A.B. ①事件A与B互斥，即集合A门B=②： ②事件A与B对立，即集合A∩B=财，且AUB =1,即A=CB成B=CA. 跟踪训练 川规律方法川 1.从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中 事件间的运算方法 任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下 (1)利用事件间运算的定义。列出同一条件下的 列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断 试险所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行 事件间的运算 它们是不是对立事件： (2)利用Venn图.借助集合可运算的思想，分析 (1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”： 同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结采 在图中列出，进行运算。 (2)“至少有1件次品”和“全是次品”： 59 高中数学·必修第二册(RJB) 跟踪训练 川规律方法川 2.设A,B为两个事件，试用A,B表示下列 (I)公式P(AUB)=P(A)+P(B),只有当A,B 两事件互斥时才能使用，如果A,B不豆斥，就不能应 事件： 用这一公式 (1)A,B两个事件中至少有一个发生： (2)利用对立事件的概率公式求解时，必须准确 (2)A事件发生且B事件不发生： 判新两个事件确实是对立事件时才能应用， (3)A,B两个事件都不发生. 。跟踪训练 3.某商场有奖销售中，购满100元商品得一张 奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖 单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50 个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的 事件分别为A,B,C,求： (1)P(A),P(B),P(C); (2)抽取1张奖券中奖的概率： 探究三互斥事件概率加法公式的应用 (3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的 [例3]在数学考试中，小王的成绩在90分以 概率。 上（含90分）的概率是0.18，在80~89分的 概率是0.51，在70~79分的概率是0.15，在 60~69分的概率是0.09，在60分以下（不含 60分)的概率是0.07.求： (1)小王在数学考试中取得80分以上（含80 分)成绩的概率： (2)小王数学考试及格的概率. 随堂巩固促应用 验证反惯迁移运用 1.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次：2.掷一枚骰子，设事件A={出现的点数不 品”，则A的对立事件为 大于3}，B=《出现的点数为奇数}，则事件 A.至多有2件次品 A与事件B的关系是 () B.至多有1件次品 A.ACB C.至多有2件正品 B.A∩B={出现的点数为1或3】 D.至少有2件正品 C.事件A与B互斥 D.事件A与B是对立事件 60 第五章统计与概率。 3.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓：4.如图所示，靶子由一个中心圆面 球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为号，乙 I和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成， 射手命中I,Ⅱ，Ⅲ的概率分别 夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒 为0.15,0.20,0.45，则不中靶 的概率是 乓球单打冠军的概率为 提示、请完成《素能提升训练》训练二十 5.3.3古典概型 [学习任务 1.理解古典概型的两个特征 2.掌握古典概型概率公式. 3.能运用古典概型概率公式、互斥（对立）事件概率加法公式解决问题. 自主学习探新知 葆前预习双基落实 知识点一古典概型 知识点二古典概型概率公式 般地，如果随机试验的样本空间所包含 : 古典概型中，假设样本空间含有n个样本 的样本点个数是有限的（简称为有限性），而且： 点，如果事件C包含有m个样本点，则P(C) 可以认为每个只包含一个样本点的事件（即基 本事件)发生的可能性大小都相等（简称为等可 能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，赵微思考 简称为古典概型。 [思考]频率的计算公式与古典概型的概率 赵微判断 计算公式有什么异同？ 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. (1)古典概型试验中样本点只有有限个.() (2)古典概型中每个样本点发生的可能性 相同. (3)每个事件发生的可能性相同. (4)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是 否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与 不发芽” 互动探究解疑难 要点归纳重难突骏 探究一样本点的计数问题 (3)先后不放回地各取一球.写出上面试验的 [例1]袋中有红、白、黄、黑四种颜色且大小 样本空间，并指出样本点的个数 相同的四个小球。 (1)从中任取一球： (2)从中任取两球： 61