(讲义)4.4 幂函数-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.4　幂函数 1．了解幂函数的概念，能正确区分幂函数与指数函数． 2．熟悉α＝1,2,3,,－1时的五类幂函数的图像、性质及其特点．(易错点) 3．能利用幂函数的图像与性质解决一些综合性问题．(难点) 1．通过幂函数概念与图像的学习，培养数学抽象素养． 2．借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养． 给出下列五个问题： ①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数． ②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数． ③如果正方体的棱长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数． ④如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝S，这里a是S的函数． ⑤如果某人t s内骑车行进了1 m，那么他骑车的平均速度v＝t－1 m/s，这里v是t的函数． 问题：(1)上述5个问题中，若自变量都用x表示，因变量用y表示，则对应的函数关系式分别是什么？ (2)你能根据指数运算的定义，把问题1中的五个函数改写成统一形式吗？ [提示]　(1)①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝，⑤y＝． (2)①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝x，⑤y＝x－1． 知识点1　幂函数的概念及五个常见的幂函数 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α是常数． 幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)有什么样的区别与联系？ [提示]　 函数 解析式 相同点 不同点 指数函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 右边都是幂的形式 指数是自变量， 底数是常数 幂函数 y＝xα(α∈R) 底数是自变量， 指数是常数 2．五个常见幂函数的图像 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝x是幂函数． (　　) (2)函数y＝2－x是幂函数． (　　) (3)幂函数的图像都不过第二、四象限． (　　) [提示]　(1)√．函数y＝x符合幂函数的定义，所以是幂函数． (2)×．幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数． (3)×．幂函数y＝x2过第二象限． [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．下列函数中不是幂函数的是(　　) A．y＝　　　　 B．y＝x3 C．y＝2x D．y＝x－1 C　[形如y＝xα的函数为幂函数，只有C不是．] 知识点2　幂函数的图像特征及性质 (1)幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上分布． (2)当α＞0时，图像过点(1,1)，(0,0)，且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数． (3)当α＜0时，幂函数的图像过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴． (4)当α＝0时，图像为直线y＝1，去掉点(0,1)． (5)幂函数的奇偶性 令α＝(其中p，q互质，p，q∈N＋)． ①若q是奇数，则y＝x的奇偶性取决于p是奇数还是偶数．当p是奇数时，则y＝x是奇函数；当p是偶数时，则y＝x是偶函数． ②若q是偶数，则p必是奇数，此时y＝x既不是奇函数，也不是偶函数． 3．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过(　　) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 A　[由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．] 4．已知幂函数f(x)的图像经过点(2，)，则f(4)＝________． 2　[设f(x)＝xα，∴α＝，∴f(4)＝4＝2．] 类型1　幂函数的概念 【例1】　函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式． [解]　根据幂函数定义得， m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求． ∴f(x)的解析式为f(x)＝x3． 如何判断一个函数是不是幂函数？ [提示]　(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数． (2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1．形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5,…,形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式． [跟进训练] 1．已知f(x)＝(m2＋2m)x，m为何值时，f(x)是： (1)正比例函数？(2)反比例函数？ (3)二次函数？(4)幂函数？ [解]　(1)若