5.1.2 导数的概念及其几何意义（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

选修第二册 《第五章 一元函数的导数及其应用》 5.1.2 导数的概念 1 问题回顾 物理问题： 跳水运动员起跳后的速度问题 几何问题： 抛物线的切线斜率问题 切线斜率 割线斜率 瞬时速度 平均速度 瞬时变化率 平均变化率 取极限 取极限 取极限 逼近 1.平均变化率的定义 对于函数y＝f(x)， 设自变量x从x0变化到x0＋∆x， 则函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x). 这时，x的变化量为∆x，y的变化量为∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0). 把比值叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋∆x的平均变化率. ∆y ∆x 2.导数(瞬时变化率)的定义 若∆x→0时，平均变化率无限趋近于唯一一个确定的值， 即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导， 并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)， 记作或， 即= 巩固：①利用导数的定义求导数 小结：利用导数的定义求导数的步骤 用导数定义求函数y=f(x)在x=x0的导数的基本步骤： ①计算函数的平均变化率=并化简； ②求极限，若极限值存在，则导数f '(x0)= 巩固：②了解可导的定义 思考1：根据导数的定义判断，函数f(x)=|x|在x=0处是否可导? 巩固：②理解导数(瞬时变化率)的意义 课本P65-例2.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。已知在第x h时，原油的温度(单位: °C)为f(x)=x²－7x＋15(0≤x≤8). 计算第2 h与第6 h时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 故在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与5 ℃/h. 意义：在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降； 在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升. f '(x0) (0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况 巩固：②理解导数(瞬时变化率)的意义 课本P66-例3.一 辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位: m/s) 为v(t)=﹣t²+6t＋60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 故在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别为2 ℃/h与－6 ℃/h. 意义：在第2 s附近，汽车速度大约以2 m/s的速率增加； 在第6 s附近，汽车速度大约以6 m/s的速率减少. v'(t0) (t0≥0)反映了汽车速度在时刻t0附近的变化情况 巩固：②理解导数(瞬时变化率)的意义 课本P66-练习3.一质点A沿直线运动，位移s(单位: m)与时间t(单位: s)之间的关系为s(t)=2t2+1，求质点A在t =2.7 s时的瞬时速度. 故质点在2.7 s时的瞬时速度为10.8 m/s. ①若位移关于时间的函数为s(t)，则s'(t0)表示函数s(t)在t＝t0时刻的瞬时速度，即v(t0)=s'(t0). ②若速度关于时间的函数v(t)，则v'(t0)表示函数v(t)在t＝t0时刻的瞬时加速度，即a(t0)=v'(t0). 巩固：利用导数的定义求导数 选修第二册 《第五章 一元函数的导数及其应用》 5.1.2 导数的几何意义 12 复习回顾 看活△x 3.导数的几何意义 由图可知，点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线 巩固：导数的几何意义的运用 B A 切线斜率 割线斜率 练习：导数几何意义的运用 切线斜率 割线斜率 B A 4.以直代曲的思想 将点P0附近的曲线不断放大，可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线. 可以用点P0处的切线P0T近似代替点P0附近的曲线y=f(x). 作用：借助导数，可以大致画出函数y=f (x)对应的曲线. 4.以直代曲的思想 P68-例4.如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=﹣4.9t2+4.8t +11的图象. 根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0, t1, t2附近的变化情况. t1 h t0 O • • t2 • t l2 l1 l0 (1)当t=t0时, 曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴, h'(t0)=0. 这时, 在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有升降. (2)当t=t1时, 曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)<0. 这时, 在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3)当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2处的切线l1的斜率h'(t2)<0. 这时, 在t=t2附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t2附近单调递减. 直线l1的倾斜程度小于直线