20 第五章 5.1.2 第1课时 导数的概念-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步课件(人教A版2019)

第五章　一元函数的导数及其应用 5.1　导数的概念及其意义 5.1.2　导数的概念及其几何意义 第1课时　导数的概念 整体感知 [学习目标]　1．了解导数概念的实际背景．(数学抽象) 2．理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．(数学抽象、直观想象) 第1课时　导数的概念 (教师用书) 17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独立研究和完成了微积分的创立工作，他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析．作为微分学基础的极限理论来说，早在我国的古代也已经有比较清楚的论述，比如庄周所著的《庄子·杂篇·天下》中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这些都是朴素的，也是很典型的极限概念．那么这种极限思想对于函数来说有什么意义吗？这就是我们今天要讲的导数． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 [讨论交流]　 问题1．函数的平均变化率与瞬时变化率有什么关系？ 问题2．瞬时变化率的几何意义是什么？ 问题3．函数在x＝x0处的导数是什么含义？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 探究建构 探究1　导数的概念 探究问题1　类比平均速度与瞬时速度的关系，瞬时变化率的几何意义是什么？ [提示]　瞬时变化率为＝，其几何意义是曲线的切线斜率． 第1课时　导数的概念 [新知生成] 1．平均变化率 对于函数y＝f (x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f (x0)变化到f (x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 2．导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处____，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在______处的____(也称为瞬时变化率)，记作______或，即f ′(x0)＝＝． 可导 x＝x0 导数 f '(x0) y' 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 【教用·微提醒】　(1)平均变化率＝的几何意义就是函数y＝f (x)图象上的两点(x0，f (x0))与(x0＋Δx，f (x0＋Δx))所在直线的斜率． (2)在导数定义中增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪一种形式，相应的Δy也必须选择对应的形式，即深刻理解定义，牢固掌握概念形式． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 【链接·教材例题】 例1　设f (x)＝，求f ′(1)． [解]　f ′(1)＝ ＝＝＝－1． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 [典例讲评]　1．已知函数y＝f (x)＝2x2＋1． (1)求函数f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； (2)求函数f (x)在区间[2，2.01]上的平均变化率； (3)求函数f (x)在x＝2处的瞬时变化率． [解]　(1)∵Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0) ＝－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴函数f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝4x0＋2Δx． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 (2)由(1)可知＝4x0＋2Δx， 当x0＝2，Δx＝0.01时， ＝4×2＋2×0.01＝8.02， 即函数f (x)在区间[2，2.01]上的平均变化率为8.02． (3)Δy＝f (2＋Δx)－f (2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2×22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx． ∴＝2Δx＋8． 故函数f (x)在x＝2处的瞬时变化率为＝＝8． 反思领悟　求瞬时变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f (x2)－f (x1)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1． (3)得平均变化率＝． (4)得瞬时变化率． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 [学以致用]　1．已知函数f (x)＝－． (1)函数f (x)在区间[1，1.5]，[1，1.1]上的平均变化率各是多少？ (2)函数f (x)在x＝1处的瞬时变化率是多少？ [解]　(1)∵f (x)＝－， ∴f (1)＝－6，f (1.5)＝－4，f (1.1)＝－， ∴该函数在区间[1，1.5]上的平均变化率为＝＝4， 在区间[1，1.1]上的平均变化率为＝＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 (2)函数f (x)在x＝1处的瞬时变化率为 ＝＝＝＝6． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 探究2　导数定义的应用 [典例讲评]　2．(源自北师大版教材)求函数y＝f (x)＝＋x在下列各点处的导数： (1)x＝1；(2)x＝x0． [解]　(1)Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝＋(1＋Δx)－＝＋Δx． ＝＋1． 当Δx趋于0时，得到导数f ′(1)＝＝＝－1． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 (2)Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)＝＋(x0＋Δx)－＝＋Δx． ＝＋1． 当Δx趋于0时，得到导数 f ′(x0)＝＝＝＋1． 发现规律　求一个函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的步骤 (1)求函数值的变化量Δy＝． (2)求平均变化率＝． (3)取极限，得导数f ′(x0)＝． f (x0＋Δx)－f (x0) 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 [学以致用]　2．函数y＝在x＝1处的导数为________． －2　[因为Δy＝＝＝， 所以＝， 所以y′|x＝1＝＝＝－2， 即函数y＝在x＝1处的导数为－2．] －2 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 探究3　导数定义式的运用 [典例讲评]　3．已知奇函数f (x)满足f ′(－1)＝1，则＝(　　) A．－　　　B．　　　C．1　　　D．－1 B　[∵f (x)是奇函数且f ′(－1)＝1， ∴＝＝f ′(－1)＝． 故选B．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 反思领悟　由导数的定义可知，若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，则 f ′(x0)＝，它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f (1－Δx)－f (1)时，分母也应该是(1－Δx)－1，要注意公式的变形． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 [学以致用]　3．已知函数f (x)在x＝x0处可导，若＝2，则f ′(x0)＝(　　) A．1　　B．　　C．2　　D．8 √ B　[函数f (x)在x＝x0处可导， f ′(x0)＝＝＝×2＝．故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 【教用·备选题】　一条水管中流出的水量y(单位：m3)关于时间t(单位：s)的函数为y＝f (t)＝t2＋7t＋15(0≤t≤8)．计算2 s和6 s时，函数的瞬时变化率，并说明它们的实际意义． [解]　当t＝2时，＝ ＝＝＝Δt＋11． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11． 同理可得当t＝6时，Δt无限趋近于0时，无限趋近于19．在2 s与6 s时，函数的瞬时变化率分别为11与19． 它说明在2 s附近，水流大约以11 m3/s的速度流出，在6 s附近，水流大约以19 m3/s的速度流出． 【链接·教材例题】 例2　将原油精炼为汽油、些油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f (x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 探究4　导数在实际问题中的意义 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 [解]　在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． 根据导数的定义， ＝＝ ＝＝Δx－3， 所以f ′(2)＝＝＝－3． 同理可得f ′(6)＝5． 在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与 5 ℃/h．说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升． 一般地，f ′(x0)(0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况． 【链接·教材例题】 例3　一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一路段内t s时的速度(单位：m/s)为y＝v(t)＝－t2＋6t＋17，求汽车在第2 s与第 6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义． 分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率．因此，在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2)，v′(6)． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 [解]　在第2 s和第6 s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和v′(6)． 根据导数的定义， ＝＝＝－Δt＋2， 所以v′(2)＝＝＝2． 同理可得v′(6)＝－6． 在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与－6 m/s2．说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少 6 m/s． [典例讲评]　4．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)． (1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？ (2)求T ′(5)，并说明它的实际意义． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 [解]　(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为 ＝＝－＝－1.6， 它表示从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃． (2)T′(5)＝＝＝－1.2， ∴T′(5)表示当t＝5 min时，蜥蜴的体温下降的瞬时速度为1.2 ℃/min． 反思领悟　导数的物理意义是：函数y＝f (x)在x＝x0处的导数即为它的瞬时变化率． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 [学以致用]　4．某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：万元)与产量x(单位：千台)之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7x＋6．求c′(1)与c′(2)，并说明它们的实际意义． [解]　设x＝1时产量的改变量为Δx， 则＝＝＝－2Δx＋3， c′(1)＝＝＝3， 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 设x＝2时产量的改变量为Δx， 则＝＝＝－2Δx－1， c′(2)＝＝＝－1． c′(1)的实际意义：当产量为1千台时，多生产1千台旋切机可多获利3万元； c′(2)的实际意义：当产量为2千台时，多生产1千台旋切机少获利1万元． 1．函数y＝f (x)＝x2在x＝1处的导数为(　　) A．2x　　B．2　　C．－2　　D．±2 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ B　[f ′(1)＝＝ ＝＝＝2．故选B．] 第1课时　导数的概念 2 3 题号 1 4 2．设f (x)是可导函数，且＝2，则f ′(1)＝(　　) A．　　B．－1　　C．0　　D．－2 √ B　[＝－2＝－2f ′(1)＝2， 则f ′(1)＝－1．故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 2 3 题号 4 1 3．函数f (x)＝x2－1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为(　　) A．2x0－1　　 B．2x0＋Δx C．2x0Δx＋(Δx)2　　 D．(Δx)2－Δx＋1 B　[根据定义，平均变化率为＝＝2x0＋Δx．故选B．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 2 4 3 题号 1 4．已知函数y＝f (x)＝－x2＋x在区间[t，1]上的平均变化率为2，则t＝________． －2　[∵Δy＝f (1)－f (t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t， ∴＝＝－t． 又∵＝2，∴t＝－2．] －2 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 1．知识链：(1)导数的概念． (2)导数定义的应用． (3)导数在实际问题中的意义． 2．方法链：定义法． 3．警示牌：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．你是如何理解的？它的意义是什么？ [提示]　的实质是函数在某一区间内函数值变化量与自变量变化量之比，它的意义是刻画函数的函数值在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 2．如何理解导数的概念？ [提示]　①函数应在x＝x0的附近有定义，否则导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数y＝f (x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关；③导数的实质是一个极限值． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 一、选择题 1．已知函数y＝f (x)＝x2＋3，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率为(　　) A．1　　B．1.1　　C．2　　D．2.1 课时分层作业(十三)　导数的概念 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 D　[＝＝＝2.1．故选D．] 第1课时　导数的概念 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．设函数f (x)＝x2＋x，则＝(　　) A．－6　　B．－3　　C．3　　D．6 √ 14 15 C　[f (1＋Δx)－f (1)＝(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－1－1＝(Δx)2＋3Δx， ∴＝ ＝＝3．故选C．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 43 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 3．函数f (x)＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，则m＝(　　) A．　　B．1　　C．2　　D． √ 14 15 B　[函数f (x)＝x2在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝2，f (x)＝x2在x＝m时的瞬时变化率为＝＝2m，所以2＝2m，解得m＝1．故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 44 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 4．设函数y＝f (x)在x＝x0的附近有定义，且有f (x0＋Δx)－f (x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　) A．f ′(x)＝a　　 B．f ′(x)＝b C．f ′(x0)＝a　　 D．f ′(x0)＝b √ 14 15 C　[∵＝＝a＋bΔx， ∴f ′(x0)＝＝a．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 45 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 5．若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，且＝1，则 f ′(x0)＝(　　) A．0　　B．1　　C．3　　D． √ 14 15 D　[因为＝1，所以3＝1， 所以3f ′(x0)＝1，所以f ′(x0)＝，故选D．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 46 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 二、填空题 6．若函数y＝f (x)＝，且f ′(m)＝－，则m的值等于________． 14 15 ±2　[因为＝＝＝， 所以f ′(m)＝＝－， 所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2．] ±2 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 47 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 10 11 12 13 1 7．函数f (x)＝x4在区间[a，2a]上的平均变化率为15，则实数a的值为________． 14 15 1　[由区间可知2a＞a，可得a＞0， 又由＝＝15a3＝15，解得a＝1．] 1 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 48 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 8．已知球的体积V是关于半径r的函数，V(r)＝，则当r＝2时，球的体积的瞬时变化率为________． 14 15 16π　[∵ΔV＝V(2＋Δr)－V(2)＝＝，∴＝[12＋6Δr＋(Δr)2]，∴＝16π．] 16π 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 49 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 三、解答题 9．已知函数f (x)＝求函数f (x)在x＝2和x＝4处的导数． 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 50 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　当1≤x＜3时，f (x)＝3x2＋1， f ′(2)＝＝＝＝12． 当x≥3时，f (x)＝2＋3(x－3)2， f ′(4)＝＝ ＝＝＝6． 14 15 51 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 10．已知函数f (x)在x＝x0处的导数为12，则＝(　　) A．－4　　B．4　　C．－36　　D．36 √ 14 15 A　[因为函数f (x)在x＝x0处的导数为12， 则＝－＝－f ′(x0)＝－×12＝ －4．故选A．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 52 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 11．下列四个函数中，在区间[0，1]上的平均变化率最大的为(　　) A．y＝x　　 B．y＝ex C．y＝sin x　　 D．y＝ √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 53 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 B　[对于A，y＝x在[0，1]上的平均变化率为＝1； 对于B，y＝ex在[0，1]上的平均变化率为＝e－1； 对于C，y＝sin x在[0，1]上的平均变化率为＝sin 1； 对于D，y＝在[0，1]上的平均变化率为＝－． 故选B．] 14 15 54 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 12．如图，函数y＝f (x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x1，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是(　　) A．[x1，x2]　　 B．[x2，x3] C．[x1，x3]　　 D．[x3，x4] √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 55 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 D　[由题可得函数f (x)在[x1，x2]上的平均变化率为P1＝＞0，函数f (x)在[x2，x3]上的平均变化率为P2＝＜0，函数 f (x)在[x1，x3]上的平均变化率为P3＝＜0，函数f (x)在[x3，x4]上的平均变化率为P4＝＞0，结合函数y＝f (x)的图象，可得P2＜P3＜0＜P1＜P4．故选D．] 14 15 56 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 13．设函数y＝f (x)＝mx3＋2，若f ′(－1)＝3，则m＝________． 14 15 1　[∵Δy＝f (－1＋Δx)－f (－1)＝m(－1＋Δx)3＋m＝3mΔx－3m(Δx)2＋m(Δx)3， ∴＝3m－3mΔx＋m(Δx)2， ∴f ′(－1)＝＝3m， 由f ′(－1)＝3，得3m＝3， ∴m＝1．] 1 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 57 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14．一只昆虫的爬行路程s(单位：米)关于时间t(单位：分钟)的函数关系式为s(t)＝求s′(1)与s′(4)，并解释它们的实际意义． 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 58 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　当0≤t＜3时，s(t)＝3t2， ＝＝＝6＋3Δt， ∴s′(1)＝＝＝6． 当t≥3时，s(t)＝15＋3(t－1)2， ＝＝＝18＋3Δt， ∴s′(4)＝＝＝18． s′(1)＝6说明在第1分钟附近时，该昆虫的爬行速度为6米/分钟，s′(4)＝18说明在第4分钟附近时，该昆虫的爬行速度为18米/分钟． 14 15 59 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 15．一小球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s(t)＝t2(位移单位：m，时间单位：s)．求小球在5 s～6 s间的平均速度和5 s～5.1 s间的平均速度，并与用匀加速直线运动速度公式求得的t＝5 s时的瞬时速度进行比较． 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　导数的概念 60 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　小球在5 s～6 s间的平均速度为 ＝＝36－25＝11(m/s)， 在5 s～5.1 s间的平均速度为 ＝＝＝10.1(m/s)， 因为s＝t2，所以t＝5 s时的瞬时速度为 v＝＝＝10(m/s)． 所以5 s～5.1 s间的平均速度更接近5 s时的瞬时速度． 14 15 61 $$