21 第五章 5.1.2 第2课时 导数的几何意义-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步课件(人教A版2019)

第五章　一元函数的导数及其应用 5.1　导数的概念及其意义 5.1.2　导数的概念及其几何意义 第2课时　导数的几何意义 整体感知 [学习目标]　1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．(数学建模) 2．会求导函数．(数学运算) 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(数学运算) 4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(逻辑推理、数学运算)． 第2课时　导数的几何意义 (教师用书) 在数学的学习过程中，对于我们遇到的一些新知识不仅要学习它的定义、公式，还要学习它所具有的性质或几何意义，比如复数除了是一种数外，它可以与平面内的点、向量一一对应；数列{an}除了是一列有规律(或无规律)的数外，它可能还具有函数的性质……，同样地，导数除了代表瞬时变化率外，它还具有其他的意义吗？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 [讨论交流]　 问题1．导数的几何意义是什么？ 问题2．如何求曲线上某点处的切线方程？ 问题3．导函数的定义是什么？它与函数在某点处的导数有何关系？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 探究建构 探究1　导数的几何意义 探究问题1　在前面的课时中我们已经了解到曲线的切线斜率与函数的瞬时变化率的关系，也知道对于一般的曲线，平均变化率可以代表曲线的割线斜率，那么导数(即瞬时变化率)能代表曲线的切线斜率吗？ [提示]　k＝f ′(x0)＝适用于求一般曲线的切线斜率． 第2课时　导数的几何意义 [新知生成] 函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f (x)在点P(x0， f (x0))处的__________．也就是说，曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率是_____．相应地，切线方程为____________________． 【教用·微提醒】　切线的斜率k只与横坐标x0有关，与Δx无关． 切线的斜率 f ′(x0) y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0) 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 [典例讲评]　1．已知曲线C：y＝x3． (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1，1)的切线方程． [思路导引]　(1)→→ (2)→→→ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 [解]　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1)． y′|x＝1＝＝＝＝3． ∴k＝y′|x＝1＝3，∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0． (2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝＝，由题意可知kPQ＝y′|x＝， 即＝，又y0＝，所以＝， 即＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－． ①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0． ②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0． [母题探究]　 本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ [解]　由解得或 从而求得公共点为(1，1)或(－2，－8)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一个公共点(－2，－8)． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 【教用·备选题】　已知抛物线y＝f (x)＝2x2＋1． (1)求抛物线在点P(1，3)处的切线方程； (2)若抛物线在某点处的切线的倾斜角为45°，求该切点的坐标． [解]　(1)因为Δy＝2(1＋Δx)2＋1－2×12－1＝4Δx＋2(Δx)2，所以＝4＋2Δx， 所以切线的斜率为＝4，所以切线的方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 (2)设切点坐标为(x0，y0)， 则Δy＝－1，所以＝4x0＋2Δx， 所以切线的斜率为＝4x0． 又因为切线的斜率为k＝tan 45°＝1， 所以4x0＝1，即x0＝，所以y0＝2×＋1＝， 所以切点坐标为． 反思领悟　利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)． (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 [学以致用]　1．已知曲线f (x)＝x3＋ax在x＝1处的切线与直线x＋4y＝0垂直，则实数a＝(　　) A．2　　　B．1　　　C．－1　　　D．－2 √ B　[f ′(1)＝＝ ＝＝3＋a． 又曲线f (x)在x＝1处的切线与直线x＋4y＝0垂直，∴f ′(1)·＝(3＋a)·＝－1，解得a＝1．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 探究2　利用导数的几何意义判断函数的变化 探究问题2　函数的单调性和导数有什么关系？ 导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系？ [提示]　当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h′(t0)＝0，这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降． 当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)＜0，这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)＜0，这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减． 通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的缓慢． 同理，t＝t3，t＝t4时都有h′(t)＞0，h(t)在各自附近单调递增，且曲线在t＝t3附近比在t＝t4附近上升的快． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 [新知生成] 若f ′(x0)＝0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k＝__； 若f ′(x0)＞0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k__0，则函数在x＝x0附近________，且f ′(x0)越大，说明函数图象变化得越快； 若f ′(x0)＜0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k__0，且函数在x＝x0附近________，且|f ′(x0)|越大，说明函数图象变化得越快． 0 ＞ 单调递增 ＜ 单调递减 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 【教用·微提醒】　f ′(x0)的正负决定增减，|f ′(x0)|的大小决定快慢． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 【链接·教材例题】 例4　图5.1-6是跳水运动中某运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t＝t0，t1，t2附近的变化情况． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 [解]　我们用曲线h(t)在t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况． (1)当t＝t0时，曲线h(t)在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)＝0．这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降． (2)当t＝t1时，曲线h(t)在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)＜0．这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减． (3)当t＝t2时，曲线h(t)在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)＜0．这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减． 从图5.1-6可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢． [典例讲评]　2．已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是(　　) A．f ′(xA)>f ′(xB) B．f ′(xA)<f ′(xB) C．f ′(xA)＝f ′(xB) D．不能确定 √ B　[由导数的几何意义，f ′(xA)，f ′(xB)分别是函数的图象在点A，B处切线的斜率，由题干图象可知，f ′(xA)<f ′(xB)．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 反思领悟　导数的几何意义就是函数图象切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决． (1)曲线f (x)在x＝x0附近的变化情况可通过x＝x0处的切线刻画．f ′(x0)＞0说明曲线在x＝x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x＝x0附近曲线是上升的；f ′(x0)＜0说明在x＝x0附近曲线是下降的． (2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 [学以致用]　2．已知函数f (x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　) A．f ′(1)＜f ′(2)＜a B．f ′(1)＜a＜f ′(2) C．f ′(2)＜f ′(1)＜a D．a＜f ′(1)＜f ′(2) √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 B　[由题图可知，函数在区间(0，＋∞)上的增长越来越快，∴f ′(1)＜f ′(2)，∵＝a，∴通过作切线与割线可得f ′(1)＜a＜f ′(2)，故选B．] 探究3　导函数(导数) 探究问题3　由前面所学知识可知，求函数在某一点处的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？ [提示]　这涉及函数在任意一点的导数问题，通过f ′(x0)＝可知f ′(x)＝，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个唯一确定的数，而是一个函数． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 [新知生成] 对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)．y＝f (x)的导函数有时也记作y′，即f ′(x)＝y′＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 【教用·微提醒】　(1) f ′(x0)是具体的值，是数值． (2) f ′(x)是函数 f (x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 [典例讲评]　3．已知函数y＝f (x)＝x2－x，求： (1) f ′(x)；(2) f (x)在x＝1处的导数． [解]　(1)因为Δy＝f (x＋Δx)－f (x)＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，所以＝2x＋Δx－， 所以f ′(x)＝＝2x－． (2)由(1)知f ′(x)＝2x－，所以f ′(1)＝2×1－＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 发现规律　求导函数的主要步骤 (1)求函数的增量Δy＝f (x＋Δx)－f (x)； (2)求平均变化率＝； (3)求极限，即f ′(x)＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 [学以致用]　3．(源自北师大版教材)求y＝f (x)＝3x2－x的导数f ′(x)，并利用f ′(x)求f ′(1)，f ′(－2)，f ′(0)． [解]　Δy＝f (x＋Δx)－f (x)＝3(x＋Δx)2－(x＋Δx)－(3x2－x) ＝3(Δx)2＋6xΔx－Δx． ＝＝3Δx＋6x－1． 当Δx趋于0时，得到导数 f ′(x)＝＝＝6x－1． 可得f ′(1)＝6×1－1＝5，f ′(－2)＝6×(－2)－1＝－13， f ′(0)＝6×0－1＝－1． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 1．下面说法正确的是(　　) A．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线 B．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处有切线，则f ′(x0)必存在 C．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线，则f ′(x0)有可能存在 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ C　[根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立．故ABD错误．] 第2课时　导数的几何意义 2 3 题号 1 4 2．某司机看见前方50 m处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是(　　) √ A　　　　B　　　　C　　　　D 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 2 3 题号 1 4 A　[根据题意，刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项CD；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图象较陡，排除选项B．故选A．] 2 3 题号 4 1 3．如果曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(　　) A．f ′(x0)＞0　　 B．f ′(x0)＜0 C．f ′(x0)＝0　　 D．f ′(x0)不存在 B　[由x＋2y－3＝0知斜率k＝－，∴f ′(x0)＝－＜0．故选B．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 2 4 3 题号 1 4．已知函数y＝ax2＋b的图象在其上点(1，3)处的切线斜率为2，则a＝________，b＝________． 1　2　[＝＝2a＝2，所以a＝1．又3＝a×12＋b，所以b＝2．] 1 2 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 1．知识链：(1)导数的几何意义． (2)函数的单调性与导数的关系． (3)导函数的概念． 2．方法链：方程思想、数形结合． 3．警示牌：切线过某点，这点不一定是切点． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．f ′(x0)是如何反映函数y＝f (x)的图象特征的？ [提示]　曲线的升降、切线的斜率与f ′(x0)的关系如下： f ′(x0)的符号 曲线f (x)在x＝x0附近的升降情况 切线的斜率k 切线的倾斜角 f ′(x0)＞0 上升 k＞0 锐角 f ′(x0)＜0 下降 k＜0 钝角 f ′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切线与x轴平行) 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 2．函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)与导函数f ′(x)之间的区别和联系是什么？ [提示]　区别：①f ′(x0)是函数f (x)在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量； ②f ′(x)是函数f (x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f (x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f ′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f ′(x)． 联系：函数f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．这也是求函数在x＝x0处的导数的方法之一． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 3．曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线与曲线f (x)过点(x0，y0)的切线有什么不同？ [提示]　曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线，点(x0，f (x0))一定是切点，只要求出k＝f ′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f (x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 课时分层作业(十四)　导数的几何意义 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，P，Q两点横坐标之差为Δx，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为(　　) A．y＝－2x＋1　　 B．y＝－2x－1 C．y＝－2x＋3　　 D．y＝－2x－2 第2课时　导数的几何意义 41 课时分层作业(十四)　导数的几何意义 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[当Δx→0时，kPQ的极限为－2，则曲线在点P处的切线的斜率为－2，所以在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，整理可得y＝－2x－1．] 42 A　　　　　B　　　 　C　　　　D 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．已知函数f (x)满足f ′(x1)＞0，f ′(x2)＜0，则在x1和x2附近符合条件的f (x)的图象大致是(　　) √ 14 15 D　[由f ′(x1)＞0，f ′(x2)＜0可知，f (x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．故选D．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 43 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 3．已知函数f (x)在x＝2附近可导，且＝－2，f (2)＝2，则 f (x)的图象在点(2，f (2))处的切线方程为(　　) A．2x＋y－6＝0　　 B．2x－y－2＝0 C．x＋2y－6＝0　　 D．x－2y＋2＝0 √ 14 15 A　[∵＝－2，∴函数f (x)的图象在x＝2处的切线的斜率为k＝－2．∵f (2)＝2，∴切线过点(2，2)，∴切线方程为y－2＝－2(x－2)，即2x＋y－6＝0．故选A．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 44 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 4．曲线y＝x3－2在点处的切线的倾斜角为(　　) A．　　B．　　C．　　D． √ 14 15 B　[∵y′＝＝＝x2， ∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角为．故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 45 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 5．(多选)若直线y＝kx＋1与曲线f (x)＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则(　　) A．a＝－1　　 B．b＝3 C．k＝2　　 D．f ′(1)＝3 √ 14 15 ABC　[由题意可得，由此解得 f ′(1)＝k＝2，D错误．故选ABC．] √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 46 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 二、填空题 6．如图，函数y＝f (x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________． 14 15 2　[由函数y＝f (x)的图象在点P(5，f (5))处的切线方程是y＝－x＋8，得切线斜率k＝f ′(5)＝－1，又由切点P既在函数y＝f (x)的图象上又在切线上，得f (5)＝3，则f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2．] 2 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 47 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 10 11 12 13 1 7．曲线y＝－在点处的切线方程为____________． 14 15 4x－y－4＝0　[先求y＝－的导数，Δy＝＝＝＝＝，即y′＝，所以曲线y＝－在点处的切线斜率k＝＝4，所以切线方程是y＋2＝4，即4x－y－4＝0．] 4x－y－4＝0 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 48 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 8．已知f (x)＝x2＋ax，f ′(1)＝4，曲线f (x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________． 14 15 2　[由导数的几何意义，得切线的斜率k＝f ′(1)＝4．又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f (x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，从而可得切点坐标为(1，3)，所以f (1)＝1＋a＝3，即a＝2．] 2 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 49 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 三、解答题 9．设P0为曲线f (x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，求点P0的坐标． 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 50 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　设P0(x0，y0)． ∵f ′(x)＝＝＝3x2＋1， ∴f ′(x0)＝＋1． ∵曲线f (x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝＋1＝4，解得x0＝±1． 当x0＝1时，y0＝0； 当x0＝－1时，y0＝－4． ∴点P0的坐标为(1，0)或(－1，－4)． 14 15 51 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 10．若曲线y＝x＋上任意一点P处的切线的斜率为k，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)　　 B．(－1，1) C．(－∞，1)　　 D．(1，＋∞) 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 52 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 C　[y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率 k＝ ＝＝＜1，即k＜1．] 14 15 53 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 11．已知函数f (x)在R上可导，f (x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　) A．f ′(a)＜f ′(b)＜f ′(c) B．f ′(b)＜f ′(c)＜f ′(a) C．f ′(a)＜f ′(c)＜f ′(b) D．f ′(c)＜f ′(a)＜f ′(b) √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 54 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 A　[如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1＜k2＜k3，又f ′(a)＝k1，f ′(b)＝k2，f ′(c)＝k3，所以f ′(a)＜f ′(b)＜f ′(c)．故选A．] 14 15 55 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 12．函数y＝(x－1)2的导数是(　　) A．－2　　 B．(x－1)2 C．2(x－1)　　 D．2(1－x) √ 14 15 C　[y′＝＝ ＝＝2x－2＝2(x－1)．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 56 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 13．已知y＝f (x)＝mx2＋n，且f (1)＝－1，f (x)的导函数f ′(x)＝4x，则m＝________，n＝________． 14 15 2　－3　[＝＝＝mΔx＋2mx， 故f ′(x)＝＝＝2mx＝4x，所以m＝2． 又f (1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3， 故m＝2，n＝－3．] 2 －3 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 57 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14．在曲线y＝x2上某点P处的切线满足下列条件，分别求出点P． (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)倾斜角为135°． 14 15 [解]　f ′(x)＝＝＝2x， 设P(x0，y0)是满足条件的点． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 58 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (1)∵切线与直线y＝4x－5平行， ∴2x0＝4，得x0＝2，y0＝4，此时切线方程是y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4，与直线y＝4x－5平行，∴P(2，4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点． (3)∵切线的倾斜角为135°， ∴其斜率为－1． 即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点． 14 15 59 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 15．点P在曲线 f (x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝ －2x2－1相切，求点P的坐标． 14 15 [解]　设P(x0，y0)，则y0＝＋1， f ′(x0)＝＝2x0， 所以在点P处的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　导数的几何意义 60 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 即y＝， 而此直线与曲线y＝－2x2－1相切， 所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点， 由 得＝0， 则Δ＝＝0， 解得x0＝±，则y0＝，所以点P的坐标为或． 14 15 61 $$