(讲义)2.2.4 第1课时 均值不等式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

2.2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．(难点) 2.会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．(重点) 1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养. 2.通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养. 如图，是第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车． 问题　依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？ 知识点一　重要不等式 对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 1.若x2＋y2＝4，则xy的最大值是(　　) A．　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．4 C　[xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．] 知识点二　算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值． 知识点三　均值不等式 1．均值不等式：如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大． 1.均值不等式中的a，b只能是具体的数吗？ [提示]　a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式． 2.均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？ [提示]　不能．如a＝－3，b＝－4，均值不等式不成立． 3．均值不等式的常见变形 (1)当a＞0，b＞0，则a＋b≥2； (2)若a＞0，b＞0，则ab≤. 2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　) (2)若a≠0，则a＋≥2＝2. (　　) (3)若a>0，b>0，则ab≤. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ [提示]　(1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立． (2)只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋≥2＝2成立． (3)因为≤，所以ab≤. 3.(对接教材)已知x＞0，则y＝x＋＋2的最小值是________． 2＋2　[∵x＞0，＞0，∴y≥2＋2，当且仅当x＝，即x＝时等号成立．] 4.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是______．(填序号) ①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. ③　[根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．] 类型1　对均值不等式的理解 【例1】　给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①②　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ B　[①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确； ②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件， ∴＋a≥2＝4是错误的； ③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．] 均值不等式使用的条件是什么？ [提示]　利用均值不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：“一正”是，要判断参数是否为正；“二定”是，要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；“三相等”是，一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立)． [跟进训练] 1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x＞1，则x＋≥2＝2； ②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4； ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. ②　[ ①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x＝时，即当x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2.③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．] 类型2　利用均值不等式比较大小 【例2】　(1)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2 B．＋≥2 C．≥2 D．≥ (2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________． (1)D　(2)p＞q　[(1)由≥得a＋b≥2， ∴A成立； ∵＋≥2＝2，∴B成立； ∵≥＝2，∴C成立； ∵≤＝，∴D不一定成立． (2)∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)． 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.∴p＞q.] 运用均值不等式比较大小时应注意不等式成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成