2.2.4均值不等式及其应用第1课时练习-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019)必修第一册

2.2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 一、选择题 1.在不等式≥中,a,b需满足 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a>0,b>0 B.a≥0,b≥0 C.ab≥0 D.ab>0 2.已知x,y均为正数,且满足x+2y=4,则xy的最大值为 (　 ) A. B.2 C.2 D. 3.若x>1,则y=的最小值为 (　 ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 4.已知a>0,若关于x的不等式x+≥3在(-1,+∞)上恒成立,则a的最小值为 (　 ) A.1 B.2 C.4 D.8 5.下列函数中,最小值是2的是 (　 ) A.y=x+ B.y=x3+ C.y=x2+ D.y=+ 6.[2023·广东佛山一中高一月考] 已知x>1,则的最大值为 (　 ) A. B. C. D.1 7.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)(1+2y)的最大值为 (　 ) A.36 B.4 C.16 D.9 8.(多选题)以下结论中正确的是 (　 ) A.y=x+的最小值为2 B.当a>0,b>0时,++2≥4 C.y=x(1-2x),0<x<的最大值为 D.当且仅当a,b均为正数时,+≥2恒成立 9.(多选题)[2023·江西抚州一中高一期中] 已知正数m,n满足2m+2n+5=mn,则 (　 ) A.∀m,n∈(0,+∞),mn≥25 B.∀m,n∈(0,+∞),m+n≥10 C.∃m,n∈(0,+∞),4m+n=20 D.∃m,n∈(0,+∞),4m+n<25 二、填空题 ★10.设x>0,y>0,x+y=2xy,则x+y的最小值为　　　　.  11.已知不等式x+>m对任意x∈(2,+∞)恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.  12.[2023·浙江温州中学高一期末] 若x>0,y>1,则+的最小值为　　　　.  三、解答题 13.已知a>0,b>0,且a+b+ab=3. (1)求ab的取值范围; (2)求a+b的取值范围. 14.(1)若x<3,求y=2x+1+的最大值. (2)已知x>0,求y=的最大值. 15.规定a☉b=+a+b(a,b为正实数).若1☉k=3,则k的值为　　　　,此时函数y=的最小值为　　　　.  16.(1)已知0<x<,求4x(3-2x)的最大值; (2)已知a>b>c,求(a-c)的最小值. 2.2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 1.B　[解析] 在均值不等式中,我们规定a>0,b>0,但当a=0,b=0时也满足≥.故选B. 2.B　[解析] ∵x,y均为正数,x+2y=4,∴xy=×2xy≤×=2(当且仅当x=2y=2时等号成立).故选B. 3.C　[解析] ∵x>1,∴y===x+1+=x-1++2≥2+2=4,当且仅当=x-1,即x=2时等号成立,∴y=的最小值为4.故选C. 4.C　[解析] 因为x>-1,所以x+1>0,所以x+=x+1+-1≥2-1=2-1,当且仅当x+1=,即x=-1时取等号,所以x+的最小值为2-1.因为不等式x+≥3在(-1,+∞)上恒成立,所以2-1≥3,解得a≥4,所以a的最小值为4.故选C. 5.D　[解析] 对于A,当x<0时,y=x+<0,故A不符合题意;对于B,当x<0时,y=x3+<0,故B不符合题意;对于C,当x=0时,y=x2+=,故C不符合题意;对于D,由均值不等式知y=+≥2=2(当且仅当x=2时取等号),故D符合题意.故选D. 6.A　[解析] 由x>1,得x-1>0,则==≤=,当且仅当x-1=,即x=1+时取等号,故的最大值为.故选A. 7.D　[解析] 由题意得,(1+x)+(1+2y)=6,1+x>1,1+2y>1,所以(1+x)(1+2y)≤=9,当且仅当1+x=1+2y,即x=2,y=1时取等号.故选D. 8.BC　[解析] 对于A,当x<0时,y<0,故A错误;对于B,当a>0,b>0时,++2≥2+2=+2≥2·=4,当且仅当a=b=1时取到等号,故B正确;对于C,y=x(1-2x)=×2x(1-2x)≤=,当且仅当x=时取等号,故y的最大值为,故C正确;对于D,当a,b同号时,+≥2=2,当且仅当a=b时取等号,故D错误.故选BC. 9.ABD　[解析] 由mn=2m+2n+5≥4+5,得(-5)(+1)≥0,可得mn≥25,当且仅当m=n=5时等号成立,故A正确;由2m+2n+5=mn≤,得(m+n-10)(m+n+2)≥0,可得m+n≥10,当且仅当m=n=5时等号成立,故B正确;显然m≠2,则n==2+,m>2,所以4m+n=4m++2=4(m-2)++10≥2+10=22,当且仅当m=,n=8时等号成立,故C错误,D正确.故选ABD. 10.2　[解析] ∵x>0,y>0,x+y=2xy,xy≤,∴x+y≤,∴x+y≥2,当且仅当x=y=1时等号成立,故x+y的最小值为2. [技巧点拨] 由含有两个变量的等式求这两个变量的和(或积)的最值,需要借助基本不等式消去积(或和),得到关于这两个变量的和(或积)的一元二次不等式,解这个不等式即可. 11.(-∞,6)　[解析] 因为x>2,所以x-2>0,所以x+=x-2++2≥2+2=6,当且仅当x-2=,即x=4时等号成立,又不等式x+>m对任意x∈(2,+∞)恒成立,所以m<6,故实数m的取值范围为(-∞,6). 12.8　[解析] +=+=++.因为+≥2=4x,当且仅当=,即2(y-1)=x2时等号成立,4x+≥2=8,当且仅当4x=,即x=1时等号成立,所以+≥8,当且仅当2(y-1)=x2,x=1,即x=1,y=时等号成立,所以+的最小值为8. 13.解:(1)因为a>0,b>0,且a+b+ab=3,所以a+b=3-ab≥2,当且仅当a=b=1时取等号,可得0<≤1,所以0<ab≤1,故ab的取值范围是(0,1]. (2)因为a+b=3-ab≥3-,当且仅当a=b=1时取等号,所以a+b≥2,故a+b的取值范围是[2,+∞). 14.解:(1)因为x<3,所以3-x>0. y=2(x-3)++7=-+7,由均值不等式可得2(3-x)+≥2=2, 当且仅当2(3-x)=,即x=3-时,等号成立,所以-≤-2,所以y=-+7≤7-2,故y的最大值是7-2. (2)因为x>0,所以y==,又x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,所以0<y≤=1,故y的最大值为1. 15.1　3　[解析] 由题意得1☉k=+1+k=3,即k+-2=0,可得k=1,则y===1++≥1+2=3,当且仅当=,即x=1时,等号成立.综上可得,k=1,y=的最小值为3. 16.解:(1)∵0<x<,∴3-2x>0,∴4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2=,当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立,∴4x(3-2x)的最大值为. (2)(a-c)=(a-b+b-c)=1+1++.∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴2++≥2+2=4,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时取等号,∴(a-c)的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $$