(讲义)2.2.4 第2课时 均值不等式的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

第2课时　均值不等式的应用 1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点) 2.会用均值不等式求解实际应用题．(难点) 1.通过均值不等式求最值，提升数学运算素养. 2.借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养. (1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？ (2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？ 问题　实例中两个问题的实质是什么？如何求解？ 知识点　重要结论 已知x，y都是正数． (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值. (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值． (　　) (2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4. (　　) (3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2. (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× [提示]　(1)由a＋b≥2可知正确． (2)由ab≤＝4可知正确． (3)不是常数，故错误． 2.若x＞0，则y＝＋x的最小值为________． 4　[∵x＞0，＞0， ∴y＝x＋≥2＝4， 当且仅当x＝，即x＝2时取等号，故ymin＝4.] 3.设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________． 100　[∵x，y∈N*， ∴20＝x＋y≥2， ∴xy≤100.] 类型1　利用均值不等式求最值 角度1　直接利用均值不等式求最值 【例1】　(1)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 (2)当x＞1时，的最小值为________． (1)C　(2)8　[(1)因为x＞0，y＞0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. (2)令t＝＝＝(x－1)＋＋2，因为x－1＞0，所以t≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，t的最小值为8.] 利用均值不等式求最值时的注意点 (1)x，y一定要都是正数． (2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值． (3)等号是否能够成立． 简记为“一正二定三相等”，三个条件缺一不可． [跟进训练] 1．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．5 C　[因为a＞0，b＞0，所以＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当 即a＝b＝1时，等号成立．] 2．已知a＞0，b＞0，ab＝4，m＝b＋，n＝a＋，求m＋n的最小值． [解]　因为m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝b＋＋a＋. 由ab＝4，那么b＝， 所以b＋＋a＋＝＋＋a＋＝＋≥2＝5，当且仅当＝，即a＝2时取等号． 所以m＋n的最小值是5. 角度2　间接利用均值不等式求最值 【例2】　(1)已知x＜0，则3x＋的最大值为________． (2)已知x＞2，求x＋的最小值． (3)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值． (1)－12　[因为x＜0，所以－x＞0. 则3x＋＝－≤－2＝－12， 当且仅当＝－3x，即x＝－2时，3x＋取得最大值为－12.] (2)[解]　因为x＞2，所以x－2＞0，所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4， 所以当且仅当x－2＝(x＞2)， 即x＝3时，x＋的最小值为4. (3)[解]　因为0＜x＜，所以1－2x＞0， 所以x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤＝， 所以当且仅当2x＝1－2x， 即x＝时，x(1－2x)的最大值为. [母题探究] (1)[变条件，变结论]若把本例(1)改为：已知x＜，试求4x－2＋的最大值． (2)[变条件，变结论]已知x＞0，求2－x－的最大值． [解]　(1)因为x＜，所以4x－5＜0,5－4x＞0. 所以4x－5＋3＋＝－＋3 ≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝时等号成立，又5－4x＞0，所以5－4x＝1，即x＝1时，4x－2＋的最大值是1. (2)　因为x＞0，所以x＋≥4，所以2－x－＝2－≤2－4＝－2，所以当且仅当x＝(x＞0)，即x＝2时，2－x－的最大值是－2. 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式求最值的三个条件． 类型2　利用均值不等式求条件最值 【