(课件)第1章 空间向量与立体几何 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

第一章　空间向量与立体几何 章末综合提升 1 巩固层·知识整合 01 章末综合提升 巩固层·知识整合 提升层·题型探究 2 章末综合提升 巩固层·知识整合 提升层·题型探究 提升层·题型探究 02 类型1　空间向量的概念及运算 类型2　利用空间向量证明位置关系 类型3　利用空间向量求距离 类型4　利用空间向量求夹角 章末综合提升 巩固层·知识整合 提升层·题型探究 4 ◆ 类型1　空间向量的概念及运算 1．空间向量的线性运算与数量积是整章的基础内容，也是后续学习的工具，可类比平面向量的线性运算和数量积进行运算． 2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算素养． 章末综合提升 巩固层·知识整合 提升层·题型探究 【例1】　(1)(多选)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2．以下选项正确的是(　　) A．＝0 B．()·()＝0 C．＝0 D．·＝· BCD　[因为＝()＋()＝4≠0，O为AC与BD的交点，所以A错误；()·()＝·＝0，所以B正确；＝＝0，所以C正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos ∠ASB，·＝2×2×cos ∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此D正确．] √ √ √ 章末综合提升 巩固层·知识整合 提升层·题型探究 (2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°． ①求的长；②求与夹角的余弦值． [解]　记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝． ①||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) ＝1＋1＋1＋2×＝6， ∴||＝．即AC1的长为． 章末综合提升 巩固层·知识整合 提升层·题型探究 ②＝b＋c－a，＝a＋b， ∴||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， ∴cos 〈〉＝＝． 即与夹角的余弦值为． 章末综合提升 巩固层·知识整合 提升层·题型探究 ◆ 类型2　利用空间向量证明位置关系 1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明． 2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维和数学运算的学科素养． 章末综合提升 巩固层·知识整合 提升层·题型探究 【例2】　在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． (1)求证：BM∥平面PAD； [解]　证明：以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1)， ∴＝(0，1，1)， 平面PAD的一个法向量为n＝(1，0，0)， ∴·n＝0，即⊥n， 又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD． 章末综合提升 巩固层·知识整合 提升层·题型探究 (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由． [解]　＝(－1，2，0)，＝(1，0，－2)， 假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD． 设N(0，y，z)，则＝(－1，y－1，z－1)， 从而MN⊥BD，MN⊥PB， ∴即 ∴∴N，∴在平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD． 章末综合提升 巩固层·知识整合 提升层·题型探究 ◆ 类型3　利用空间向量求距离 1．空间距离的计算思路 (1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量为＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为(如图1)． 章末综合提升 巩固层·知识整合 提升层·题型探究 (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n， A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则 点P到平面α的距离为(如图2)． 2．通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算的学科素养． 章末综合提升 巩固层·知识整合 提升层·题型探究 【例3】　长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求： (1)M到直线PQ的距离； [解]　如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(4，0，0)， M(2，3，4)，P(0，4，0)，Q(4，6，2)，B1