(讲义)第2章 一元二次函数、方程与不等式 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

类型1　不等式的性质及应用 1．本章主要学习了不等式的基本性质和基本事实．该知识点常与数式的大小比较、命题真假的判断及不等式的证明结合命题，求解时注意直接法和特值法的应用． 2．掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养． 【例1】　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B (2)(多选)(2022·江苏省新海高级中学月考)若a，b，c∈R，a<b<0，则下列不等式中正确的是(　　) A．> B．ab<b2 C．a|c|>b|c| D．a(c2＋1)<b(c2＋1) (3)已知2<a<3，－2<b<－1，则ab的取值范围为________． (1)B　(2)AD　(3)－6<ab<－2　[(1)∵A－B＝a2＋3ab－4ab＋b2＝a2－ab＋b2＝＋b2≥0，故A≥B． (2)对于A，因为a<b<0，所以＝>0，则>，故A正确； 对于B，因为a<b<0，所以ab>b2，故B错误； 对于C，当c＝0时，a|c|＝b|c|，故C错误； 对于D，由c2＋1>0，a<b<0，可得a(c2＋1)<b(c2＋1)，故D正确；故选AD． (3)因为－2<b<－1， 所以1<－b<2， 又因为2<a<3，所以2<－ab<6， 所以－6<ab<－2．] 类型2　基本不等式及其应用 1．基本不等式(a>0，b>0)常有两种变形：ab≤和a＋b≥2．其充分体现了利用两个正数和与积互化求最值的技巧，在应用该知识点解决最值时，务必把握“一正、二定、三相等”这一前提条件． 2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养． 【例2】　(2022·河北保定市第一中学月考)求下列函数的最值． (1)若正实数a，b，满足a＋2b＝1，求的最小值； (2)已知x<1，求y＝4x＋1＋的最大值． [解]　(1)∵a>0，b>0，a＋2b＝1，∴(a＋1)＋2b＝2， ∴＝[(a＋1)＋2b] ＝＝×(6＋4)＝3＋2 ， ∴的最小值为3＋2． (2)∵x<1，∴1－x>0， ∴y＝4(x－1)＋＋5＝－＋5≤－2＋5＝1． 当且仅当4(1－x)＝，即x＝时取等号， ∴y的最大值为1． 类型3　一元二次不等式的解法 1．一元二次不等式的解法充分体现了三个“二次”之间的内在联系，解此相关问题应把握三个关键点：一图象的开口方向，二是否有根，三根的大小关系．把握好以上三点，数形结合给出相应解集即可，对于由此知识点派生出的恒成立问题，数形结合求解便可． 2．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 【例3】　(2022·河北石家庄外国语学校月考)已知关于x的不等式ax2＋3x＋2>0(a∈R)． (1)当a<0时，若ax2＋3x＋2>0的解集为{x|b<x<1}，求实数a，b的值； (2)当a>0时，求关于x的不等式ax2－3x＋2>x－1的解集． [解]　(1)由题意知，b和1为ax2＋3x＋2＝0的两个根， 将x＝1代入方程可得，a＋3＋2＝0，即a＝－5， 由根与系数的关系可知，b×1＝，故b＝－， 故a＝－5，b＝－． (2)由题意可知，ax2－3x＋2>x－1⇔ax2－4x＋3>0， 从而Δ＝16－12a，且a>0， 由二次函数可知，y＝ax2－4x＋3的图象开口向上， ①当Δ＝16－12a<0，即a>时，不等式的解集为R； ②当Δ＝16－12a＝0，即a＝时，不等式ax2－4x＋3＝(2x－3)2>0的解集为； ③当Δ＝16－12a>0，即0<a<时， ax2－4x＋3＝0的解为x1＝，x2＝， 故ax2－4x＋3>0的解集为． 综上所述，当a>时，ax2－3x＋2>x－1的解集为R； 当a＝时，ax2－3x＋2>x－1的解集为； 当0<a<时，ax2－3x＋2>x－1的解集为． 类型4　不等式在实际问题中的应用 1．不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题的关键． 2．利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养． 【例4】　(2022·广东深圳实验学校高中部月考)某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，当年促销费用t＝0万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销售完． (1)求x关于t的函数； (2)将下一年的利润y(万元)表示为促销