(讲义)第1章 函数与常用逻辑用语 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

类型1　集合的基本概念 1．理解集合的概念、集合中元素的特性、常用数集的表示、元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能根据具体问题选择不同的表示方法，能在不同的表示方法之间进行转换． 2．掌握集合的基本概念，提升逻辑推理和数学抽象素养． 【例1】　(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 (2)(多选)(2022·江苏省镇江中学月考)已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋2}，下列关系正确的是(　　) A．(1，3)∈B B．(0，0)∉B C．0∈A D．A＝B (1)C　(2)AB　[(1)①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2； ②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1； ③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0. 综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个． (2)∵集合A＝{y|y≥2}， 集合B是由抛物线y＝x2＋2上的点组成的集合， ∴A正确，B正确，C错误，D错误，故选AB.] 类型2　集合的基本关系与运算 1．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算，它与集合的基本关系都是高考的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解． 2．掌握集合的基本关系与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 【例2】　(1)(多选)已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}． ①求A∪B，(∁RA)∩B； ②若A∩C≠∅，求a的取值范围． (1)ACD　[当m＝0时，B＝∅，符合题意． 当m≠0时，B＝． 由B⊆A可知，＝2或＝3，即m＝3或2. 综上可知m＝0或2或3，故选ACD.] (2)[解]　①因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}， 所以A∪B＝{x|2≤x<10}． 所以∁RA＝{x|x<2或x≥7}， 则(∁RA)∩B＝{x|7≤x<10}． ②因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2， 所以a的取值范围是{a|a>2}． 类型3　充分条件与必要条件 1．充分必要条件的判断和证明是平时考试的一个重点，常与不等式等知识结合命题，学会用集合的观点分析和解决充分必要条件的判断和求参的范围问题，提升转化和化归能力． 2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养． 【例3】　(1)(多选)对于任意实数a，b，c，下列结论正确的有(　　) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充分条件 B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的必要条件 C．“a＝b”是“a2＝b2”的充分条件 D．“a>b”是“a>|b|”的必要条件 (2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}．q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． (1)ACD　[a＝b⇒ac＝bc，A正确；当a＝－5时，a＋5＝0，不是无理数，B错误； a＝b⇒a2＝b2，C正确；a＞|b|⇒a＞b，D正确；故选ACD.] (2)[解]　∵q是p的充分不必要条件， ∴BA， ∴或 解得－≤a<0，或a≤－4. ∴a的取值范围为． 类型4　全称量词命题和存在量词命题 1．全称量词强调的是“一切”“每一个”等，常用符号“∀”表示，而存在量词强调的是部分，常用符号“∃”表示，对于全称量词命题和存在量词命题的否定要把握两点：一是改量词，二是否结论． 2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数的范围等，培养逻辑推理和数学运算素养． 【例4】　(1)命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则(　　) A．p是假命题；p的否定：∃x∈R，x2＜0 B．p是假命题；p的否定：∃x∈R，x2≤0 C．p是真命题；p的否定：∀x∈R，x2＜0 D．p是真命题；p的否定：∀x∈R，x2≤0 (2)已知p：∀x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，q：∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0.若命题p的否定是真命题，且命题q是真命题，求实数a的取值范围． (1)B　[由于02＞0不成立，故“∀x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，故选B.] (2)[解]　若p：