附录-【本土学练】2023-2024学年云南九年级全一册数学初中同步学案（人教版）

　 附　 录: 九年级全一册常用公式、性质及定理 1. 一元二次方程的解法 直接开平方法 形如 x2 = p 或(mx + n) 2 = p(p≥0)的方程直接开平方,得 x = ± p或 mx + n = ± p 配方法 将方程 ax2 + bx + c = 0 配方为 a(x + b2a) 2 = b 2 - 4ac 4a ,当 b 2 - 4ac≥0 时,直接开平方 公式法 方程 ax2 + bx + c = 0,当 b2 - 4ac≥0 时,用求根公式 x = - b ± b 2 - 4ac 2a 求解 因式分解法 若方程可变形为(x + a)(x + b) = 0,可得 x + a = 0 或 x + b = 0 2.一元二次方程根的判别式 根的判别式……Δ = b2 -4ac Δ >0⇔方程有两个不等的实数根 Δ =0⇔方程有两个相等的实数根 Δ <0⇔方程无实数根 3.一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程 ax2 + bx + c =0(a≠0)的两根分别为 x1,x2,那么 x1 + x2 = - b a ,x1x2 = c a . 4.二次函数的图象及性质 函数关系式 一般式:y = ax2 + bx + c (a≠0) 顶点式:y = a(x - h) 2 + k (a≠0) 图象形状 抛物线 开口方向 a >0⇔开口向上;a <0⇔开口向下 顶点坐标 - b2a, 4ac - b2 4a( ) (h,k) 对称轴 x = - b2a x = h 增减性 a >0 对称轴左侧,即 x < - b2a或 x < h,y 随 x 的增大而减小;对称轴右侧, 即 x > - b2a或 x > h,y 随 x 的增大而增大 a <0 对称轴左侧,即 x < - b2a或 x < h,y 随 x 的增大而增大;对称轴右侧, 即 x > - b2a或 x > h,y 随 x 的增大而减小 最值 a >0 当 x = - b2a时,y最小值 = 4ac - b2 4a 当 x = h 时,y最小值 = k a <0 当 x = - b2a时,y最大值 = 4ac - b2 4a 当 x = h 时,y最大值 = k 391 5.圆的相关性质及其推论 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 圆心角定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等 圆周角定理 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对 的圆心角的一半 圆周角定理的推论 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径 6.点与圆的位置关系 设☉O 的半径为 r,点 P 到圆心的距离 OP = d,则有 点 P 在圆外⇔d > r, 点 P 在圆上⇔d = r, 点 P 在圆内⇔d < r. 7.直线与圆的位置关系 设☉O 的半径为 r,直线 l 到圆心 O 的距离为 d,则有 直线 l 和☉O 相交⇔d < r,　 直线 l 和☉O 相切⇔d = r, 直线 l 和☉O 相离⇔d > r. 8.切线的相关定理 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连 线平分两条切线的夹角 9.与圆有关的计算 弧长公式 扇形面积公式 圆锥侧面积公式 圆锥全面积公式 l = nπR180 S扇形 = nπR2 360 = 1 2 lR S侧 = πRl S侧 = πRl + πR2 10.反比例函数的图象及性质 函数关系式 y = kx (k 为常数,k≠0)或 xy = k(k 为常数,k≠0)) 或 y = kx -1(k 为常数,k≠0) 图象(双曲线) 自变量的取值范围 x≠0 增减性 k >0⇔双曲线的两支分别位于第 一、三象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而减小 k < 0⇔双曲线的两支分别位于第 二、四象限,在每一个象限内,y 随 x 的增大而增大 491 　 11.相似三角形的判定与性质 相似三角形的判定 1. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原 三角形相似 2. 三边成比例的两个三角形相似 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 4. 两角分别相等的两个三角形相似 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应角相等,对应边成比例 2. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等 于相似比 3. 相似三角形周长的比等于相似比 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方 12.锐角三角函数