(讲义)5.1.2 瞬时变化率——导数-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

5.1.2　瞬时变化率——导数 1．了解切线的含义．(重点) 2．理解瞬时速度与瞬时加速度．(重点) 3．掌握瞬时变化率——导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数．(难点) 1．通过对瞬时变化率、导数概念和导数几何意义的学习，培养数学抽象及直观想象的核心素养． 2．借助对切线方程的求解，提升数学运算核心素养． 巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员在陡峭程度不同时，运动员的感受是不一样的，如何用数学反映山势的陡峭程度，给登山运动员一些有益的技术参考？ 思考：什么是平均变化率？如何理解瞬时变化率？ 知识点1　曲线上一点处的切线 (1)设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线． (2)若曲线C上一点P(x，f (x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f (x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f (x))处的切线的斜率． 知识点2　瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度：在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． (2)瞬时速度：一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率． (3)瞬时加速度：一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率． 1.一辆汽车运动的速度为v(t)＝t2－2，则该汽车在t＝3时的加速度为________． 6　[＝＝＝6＋Δt，当Δt→0时，→6，即汽车在t＝3时加速度为6.] 2.火箭发射t s后，其高度(单位：km)为h(t)＝0.9t2.那么t＝________s时火箭的瞬时速度为3.6 km/s. 2　[＝＝＝0.9Δt＋1.8t0.当Δt→0时→1.8t0. 即t＝t0时的瞬时速度为1.8t0， 由1.8t0＝3.6得t0＝2.] 知识点3　导数 (1)导数：设函数y＝f (x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f (x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f (x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)． (2)导数的几何意义：导数f ′(x0)的几何意义就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率． (3)导函数：①若f (x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f (x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f (x)的导函数，记作f ′(x)．在不引起混淆时，导函数f ′(x)也简称为f (x)的导数； ②f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值． 1.f ′(x0)＞0和f ′(x0)＜0反映了怎样的意义？ [提示]　f ′(x0)＞0反映了瞬时变化率呈增长趋势，f ′(x0)＜0反映了瞬时变化率呈下降趋势． 2. f ′(x0)与f ′(x)有什么区别？ [提示]　f ′(x0)是一个确定的数，而f ′(x)是一个函数． 3.若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(　　) A．f ′(x0)＞0 B．f ′(x0)＝0 C．f ′(x0)＜0 D．f ′(x0)不存在 C　[由题意可知，f ′(x0)＝－2＜0，故选C.] 类型1　求曲线上某一点处的切线 【例1】　已知曲线y＝f (x)＝x＋上的一点A，用切线斜率定义求： (1)点A处的切线的斜率； (2)点A处的切线方程． [解]　(1)∵Δy＝f (2＋Δx)－f (2)＝2＋Δx＋－＝＋Δx， ∴＝＋＝＋1. 当Δx无限趋近于零时，无限趋近于，即点A处的切线的斜率是. (2)切线方程为y－＝(x－2)， 即3x－4y＋4＝0. 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数． [跟进训练] 1．(1)已知曲线y＝f (x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为________． (2)已知曲线y＝3x2－x，求曲线上一点A(1，2)处的切线的斜率及切线方程． (1)(3，30)　[设点P坐标为(x0，y0)， 则＝＝4x0＋4＋2Δx. 当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4， 因此4x0＋4＝