(讲义)3.3.1 抛物线的标准方程-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程．(重点) 2．明确p的几何意义，掌握抛物线的简单应用．(难点) 1.通过对抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养． 2．通过对抛物线定义及标准方程的应用，培养直观想象、数学建模等核心素养． 我们已经学习了椭圆、双曲线两种圆锥曲线，今天我们来学习第三种圆锥曲线——抛物线． 在物理上，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象． 现在来做一个实验． 如图，把一根直尺固定在画图板内，直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固定于三角板另一条直角边上点A，截取绳子的长等于A到l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔就画出了一条曲线，这条曲线就叫作抛物线． 知识点1　抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线．定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线． 抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？ [提示]　点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 知识点2　抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) F x＝－ y2＝－2px(p>0) F x＝ x2＝2py(p>0) F y＝－ x2＝－2py(p>0) F y＝ 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝4x2的焦点坐标为(1，0)． (　　) (2)以(0，1)为焦点的抛物线的方程为x2＝4y． (　　) [答案]　(1)×　(2)√ 2.抛物线y＝4ax2(a∈R且a≠0)的焦点坐标为________． 　[把方程化为标准形式为x2＝y，所以焦点在y轴上，坐标为.] 类型1　求抛物线的标准方程 【例1】　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． [解]　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0).又＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y. (2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0). 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. (3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0). ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系； (2)当抛物线的位置不确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论次数； (3)注意p与的几何意义． [跟进训练] 1．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y＝； (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点(－3，－1)； (4)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． [解]　(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y. (2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. (3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0). 若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)， 则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝； 若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)， 则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y. (4)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0). 当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为(4，0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x. ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 类型2　抛物线定义的应用 【例2】　已知抛物线y