(讲义)3.2.2 双曲线的几何性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

3.2.2　双曲线的几何性质 了解双曲线的简单几何性质．(重点) 1.通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象、数学运算核心素养． 2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养． 凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性． 你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质？ 知识点1　双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 离心率 e＝>1 渐近线 y＝±x y＝±x 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线－＝1的焦点在y轴上． (　　) (2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大． (　　) (3)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2.双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________． 5　[∵双曲线的标准方程为－＝1(a>0)， ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x. 又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.] 知识点2　等轴双曲线 (1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线． (2)性质：在双曲线的标准方程－＝1中，如果a＝b，那么方程可化为x2－y2＝a2，此时双曲线的实轴长和虚轴长都等于2a，且两条渐近线互相垂直． 3.若等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 B　[由条件知，等轴双曲线焦点在x轴上，可设方程为－＝1，a2＋a2＝62，解得a2＝18，故方程为－＝1.] 知识点3　直线与双曲线的位置关系 将y＝kx＋m与－＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0. Δ的取值 位置关系 交点个数 k＝±时 相交 只有一个交点 k≠±且Δ＞0 有两个交点 k≠±且Δ＝0 相切 只有一个交点 k≠±且Δ＜0 相离 没有公共点 类型1　根据双曲线方程研究几何性质 【例1】　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [解]　双曲线的方程化为标准形式是－＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝. 又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x. [母题探究] 1．(变条件)把本例双曲线方程“9y2－4x2＝－36”改为“9y2－4x2＝36”，它的性质如何？ [解]　把方程9y2－4x2＝36化为标准方程为－＝1，这里a2＝4，b2＝9，c2＝13.焦点在y轴上．所以顶点坐标为(0，2)，(0，－2)， 焦点坐标为(0，)，(0，－)，实轴长2a＝4， 虚轴长2b＝6，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x. 2．(变条件)把本例中方程“9y2－4x2＝－36”改为“4x2－9y2＝－4”，它的性质又如何？ [解]　方程4x2－9y2＝－4可化为标准方程－x2＝1，焦点在y轴上，这里a2＝，b2＝1，c2＝＋1＝. 所以顶点坐标为(0，)，(0，－). 焦点坐标为(0，)，(0，－). 实轴长2a＝，虚轴长2b＝2. 离心率e＝＝. 渐近线方程为y＝±x＝±x. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤是什么？ [提示]　(1)把双曲线方程化为标准形式； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； (3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质． 类型2　由几何性质求双曲线的标准方程 【例2】　求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (3)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2). [解]　(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1. (2)由两顶点间的距离是6得2a＝6，即a＝3. 由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求