(讲义)3.2.1 双曲线的标准方程-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线的标准方程 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1．通过对双曲线概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过对双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养． 做下面一个实验． (1)取一条拉链，拉开一部分． (2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上． (3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线． 试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？ 知识点1　双曲线的定义 文字语言 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹 符号语言 |PF1－PF2|＝常数(0＜常数＜F1F2) 焦点 两个定点F1，F2 焦距 两个焦点间的距离 (1)在双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)在双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？ [提示]　(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (2)点M的轨迹为双曲线的右支． 知识点2　双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 1.双曲线－＝1的焦距为(　　) A．3 B．4 C．3 D．4 D　[c2＝10＋2＝12，所以c＝2，从而焦距为4.] 2.已知方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________． (－∞，－2)　[由双曲线标准方程的特点知2＋m＜0且－(m＋1)＞0，解得m＜－2.即m的取值范围为(－∞，－2).] 类型1　求双曲线的标准方程 【例1】　根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A； (2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上． [解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.① ∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1.② 由①②得a2＝12，b2＝8， ∴双曲线的标准方程为－＝1. 法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16). ∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去). ∴双曲线的标准方程为－＝1. (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点P，Q在双曲线上， ∴ 解得 ∴双曲线的标准方程为－＝1. 1．求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 2．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0. [跟进训练] 1．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点； (2)焦距为2，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上； (3)焦点为(0，－6)，(0，6)，且过点A(－5，6). [解]　(1)依题意得，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝5. 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)因为焦点在x轴上，且c＝， 所以设双曲线的标准方程为－＝1，0＜a2＜6. 又因为过点(－5，2)，所以－＝1， 解得a2＝5或a2＝30(舍去). 所以双曲线的标准方程为－y2＝1. (3)法一：由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5，6)在双曲线上，所以2a＝|－|＝|13－5|＝8，则