(讲义)3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点) 2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点) 1．通过对直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理核心素养． 2．通过对弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养． 大家知道，直线与圆有三种位置关系，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为R，则 d＞R时⇔直线与圆相离； d＝R时⇔直线与圆相切； d＜R时⇔直线与圆相交． 那么直线与椭圆有几种位置关系呢？ 可以用上述方法来判定直线与椭圆的位置关系吗？ 知识点1　点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1； 点P在椭圆内部⇔＋<1； 点P在椭圆外部⇔＋>1． 1.若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________． (－，)　[∵点A在椭圆内部，∴＋＜1， ∴a2＜2，∴－＜a＜.] 知识点2　直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 2.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 B　[直线方程y＝kx－k＋1可化为y－1＝k(x－1)，知直线过定点(1，1)，因＋＜1， ∴点(1，1)在椭圆内， 故直线y＝kx－k＋1与椭圆相交．] 3.直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(　　) A．2 B．± C．±2 D．±2 C　[由消去y并整理得 2x2－2mx＋m2－4＝0. 由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8. ∴m＝±2.] 类型1　直线与椭圆的位置关系 【例1】　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问： 当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ [解]　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.　① 方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 如何判断直线与椭圆的位置关系？ [提示]　判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则 Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离． [跟进训练] 1．若直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，求实数m的取值范围． [解]　因为y＝kx＋1(k∈R)恒过点(0，1)，则点(0，1)在椭圆＋＝1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，所以≤1，即m≥1. 当m＝5时，＋＝1不是椭圆，它是以原点为圆心，半径为的圆．因此，m的取值范围为[1，5)∪(5，＋∞). 类型2　弦长和中点弦问题 [探究问题] 1．求弦长常用的方法有哪几种？ [提示]　(1)两点间距离公式，需要先通过解方程组将两点坐标求出来． (2)弦长公式，不需要求出交点坐标，采用根与系数的关系整体代换即可． 2．“点差法”的核心是什么？ [提示]　假设弦l中点为(x0，y0), 弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0， 由两式作差得＋＝0，即kl＝－. 【例2】　过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分． (1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长． 求过点M的弦所在直线的方程，其关键是求出直线的斜率，如何求直线的斜率？ [提示]　联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解或用点差法求解． [解]　(1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2).代入椭圆方程并整理，得 (4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝. 又M为AB的中点，∴＝＝2， 解得k＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 法二：设直线与椭圆