(讲义)3.1.2 第1课时 椭圆的几何性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

3.1.2　椭圆的几何性质 第1课时　椭圆的几何性质 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点) 2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点) 1．通过对椭圆性质的学习与应用，培养数学运算的核心素养． 2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养． “天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有怎样的性质吗？ 知识点1　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a，其中a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 1.经过点P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．－＝1 A　[由题易知点P(3，0)，Q(0，2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1.] 2.椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为(0，)，则椭圆的标准方程是________． x2＋＝1　[依题意得2a＝4b，c＝，又a2＝b2＋c2， ∴a＝2，b＝1，故椭圆的标准方程为x2＋＝1.] 知识点2　离心率 (1)定义：焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为e. (2)性质：离心率e的范围是(0，1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆． 离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？ [提示]　不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度． 类型1　由椭圆方程研究几何性质 【例1】　(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝λ(λ＞0且λ≠1)有(　　) A．相同的焦点　 B．相同的顶点 C．相同的离心率 D．相同的长、短轴 (2)求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． (1)C　[在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C.] (2)[解]　把已知方程化成标准方程为＋＝1， 所以a＝4，b＝3，c＝＝， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6； 离心率e＝＝； 两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)； 四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3). [母题探究] 1．(变条件)本例(1)中把方程“＋＝λ(λ＞0且λ≠1)”改为“＋＝1(λ≠0)”，结果会怎样呢？ [解]　由于a＞b，∴方程＋＝1中，c2＝(a2＋λ)－(b2＋λ)＝a2－b2. 焦点与＋＝1(a＞b＞0)的焦点完全相同． 而因长轴长，短轴长发生了变化，所以顶点、离心率、长轴长、短轴长均变化．] 2．(变条件)本例(2)中，把方程改为“16x2＋9y2＝144”，结果又会怎样呢？ [解]　把方程16x2＋9y2＝144化为标准形式得＋＝1. 知椭圆的焦点在y轴上， 这里a2＝16，b2＝9，∴c2＝16－9＝7， 所以椭圆16x2＋9y2＝144的长轴长为2a＝2×4＝8，短轴长为2b＝2×3＝6， 离心率：e＝＝，焦点坐标：(0，±)， 顶点坐标：(0，－4)，(0，4)，(－3，0)，(3，0). 由标准方程研究性质时的两点注意 (1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型． (2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不分别是a，b，c，而应分别是2a，2b，2c. 类型2　由几何性质求椭圆的方程 【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)经过点M(1，2)，且与椭圆有相同的离心率． [解]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3，,∵e＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.,∴椭圆的方程为＝1.,若焦点在y轴上，则b＝3，,∵e＝，解得a2＝27.,∴椭圆的方程为＝1.