(讲义)3.1.1 椭圆的标准方程-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

3.1　椭圆 3.1.1　椭圆的标准方程 1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点) 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 1．通过对椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算的核心素养． 2．借助对轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象的核心素养． 2020年11月24日22时06分，“嫦娥五号”探测器3000 N发动机工作约2秒钟，顺利完成第一次轨道修正，继续飞向月球． 2020年11月25日22时06分，“嫦娥五号”探测器两台150 N发动机工作6秒钟，顺利完成第二次轨道修正．截至第二次轨道修正，“嫦娥五号”探测器已在轨飞行约41小时，距离地球约27万千米，探测器各系统状态良好，地面测控通信各中心和台站跟踪正常． 2020年12月17日，“嫦娥五号”返回器携中国第一捧月壤在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆． 请观察“嫦娥五号”的运行轨道是一个什么图形． 知识点1　椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距． (1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ [提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2. (2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 知识点2　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 (－c，0)与(c，0) (0，－c)与(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 1.椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 C　[由条件知，焦点在y轴上，且a＝10，c＝8，所以b2＝a2－c2＝36， 所以椭圆的标准方程为＋＝1.] 2.方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________． (－6，－2)∪(3，＋∞)　[由a2＞a＋6＞0得a＞3或－6＜a＜－2.] 类型1　求椭圆的标准方程 【例1】　求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10； (2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3)； (3)经过两点(2，－)，. [解]　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：因为所求椭圆过点(4，3)，所以＋＝1. 又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 由已知条件得解得 则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B).分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得 解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 (1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n). (3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求． [跟进训练] 1．求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程． [解]　法一：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16. 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.　① 又点(3，)在所求椭圆上，所以＋＝1， 即＋＝1.② 由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：由题意可