(讲义)2.3 圆与圆的位置关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

2.3　圆与圆的位置关系 1．理解圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点) 2．掌握圆与圆的位置关系的应用． 通过对圆与圆的位置关系的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养． 如图为在某地12月24日拍到的日环食全过程． 可以用两个圆来表示变化过程． 根据上图，结合平面几何知识，判断圆与圆的位置关系有几种？能否通过数量关系表示这些圆的位置关系？ 知识点　圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| 0＜d＜|r1－r2| (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？ [提示]　两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线． 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交． (　　) (2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离． (　　) (3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立． (　　) (4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　) A．相离　　　 B．相交　　 C．外切　　　 D．内切 B　[圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝<r1＋r2＝3，即两圆相交．] 3.已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝10相交于A，B两点，则直线AB的方程是________． x＋3y－5＝0　[由两圆方程消去二次项得10－2x＋1－6y＋9＝10， 即直线AB的方程为x＋3y－5＝0.] 类型1　圆与圆的位置关系的判断 【例1】　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？ [解]　将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2＝(k＜50)， 从而|C1C2|＝＝5. 当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切． 当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．当|－1|＜5＜1＋， 即14＜k＜34时，两圆相交． 当＋1＜5， 即34＜k＜50时，两圆外离． 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离d； (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． [跟进训练] 1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． [解]　圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交． (3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离． (4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含． 类型2　两圆相切问题 【例2】　(1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相外切，则m的值是________． (2)求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程． [思路探究]　(1)利用|C1C2|＝r1＋r2建立方程来求出m的值． (2)分外切与内切两种情况，与其他条件联立建立方程组，求出标准方程的三个参数值即可． (1)2或－5　[C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意知|C1